中考数学第27讲相似图形文档格式.docx

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∴BD：

AB=5：

8，

∵DE∥BC，

∴CE：

∵EF∥AB，

∴CF：

AC=5：

8．

故选A．

点评：

此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．

对应训练

1．（2019•乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为．

考点二：

位似

例2（2019•孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为

，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（　　）

A．（-2，1）B．（-8，4）C．（-8，4）或（8，-4）D．（-2，1）或（2，-1）

根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．

根据题意得：

则点E的对应点E′的坐标是（-2，1）或（2，-1）．

故选D．

此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

2．（2019•青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　）

A．（

，n）B．（m，n）C．（m，

）D．（

，

）

考点三：

相似三角形的性质及其应用

例3（2019•陕西）一天晚上，黎明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；

接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m．

根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．

设CD长为x米，

∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA

∴MA∥CD∥BN

∴EC=CD=x

∴△ABN∽△ACD，

∴

即

。

解得：

x=6.125≈6.1．

∴路灯高CD约为6.1米．

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．

3．（2019•德宏州）如图，是一个照相机成像的示意图．

（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？

（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？

3．解：

如图，根据物体成像原理知：

△LMN∽△LBA，

．

（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，

LD=7，

∴拍摄点距离景物7米；

（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，

LC=70，

∴相机的焦距应调整为70mm．

考点四：

相似三角形的判定

例4（2019•牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件∠ACD=∠ABC（答案不唯一）

，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）

相似三角形的判定有三种方法：

①三边法：

三组对应边的比相等的两个三角形相似；

②两边及其夹角法：

两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

③两角法：

有两组角对应相等的两个三角形相似．

由此可得出可添加的条件．

由题意得，∠A=∠A（公共角），

则可添加：

∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．

故答案可为：

∠ACD=∠ABC．

本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．

4．（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：

△ABD∽△CBE．

4．证明：

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CEB=90°

又∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△CBE．

考点五：

相似三角形的判定和性质

例5（2019•荆州）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：

S四边形BDEF为（　　）

A．3：

4B．1：

2C．2：

3D．1：

3

由题意可推出△ADC为等腰三角形，CE为顶角∠ACD的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此E为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，这样即可判断出S△AEF：

S四边形BDEF的值．

∵DC=AC，

∴△ADC是等腰三角形，

∵∠ACB的平分线CE交AD于E，

∴E为AD的中点（三线合一），

又∵点F是AB的中点，

∴EF为△ABD的中位线，

∴EF=

BD，△AFE∽△ABD，

∵S△AFE：

S△ABD=1：

4，

∴S△AFE：

S四边形BDEF=1：

3，

本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AFE：

4．

例5（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°

，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：

△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△AQP∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．

解答：

（1）证明：

∵∠A+∠APQ=90°

，∠A+∠C=90°

∴∠APQ=∠C．

在△APQ与△ABC中，

∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC．

（2）解：

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：

AC=5．

∵∠BPQ为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．

由

（1）可知，△AQP∽△ABC，

，即

，解得：

PB=

∴AP=AB-PB=3-

=

；

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°

，∠A+∠P=90°

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，点B为线段AB中点，

∴AP=2AB=2×

3=6．

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为

或6．

本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第

（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．

5．（2019•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则△AOD与△BOC的面积比等于（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（2019•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）

（1）若△CEF与△ABC相似．

①当AC=BC=2时，AD的长为；

②当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？

请说明理由．

6．解：

①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．

此时D为AB边中点，AD=

AC=

②当AC=3，BC=4时，有两种情况：

（I）若CE：

CF=3：

4，如答图2所示．

∵CE：

CF=AC：

BC，∴EF∥BC．

由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=

AD=AC•cosA=3×

=1.8；

（II）若CF：

CE=3：

4，如答图3所示．

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．

由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°

又∵∠A+∠B=90°

∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．

同理可得：

∠B=∠FCD，CD=BD，

∴此时AD=

AB=

×

5=2.5．

综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：

如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．

∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=

AB，∴∠DCB=∠B．

由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°

，∴∠DCB+∠CFE=90°

∵∠B+∠A=90°

，∴∠CFE=∠A，

又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．

考点六：

相似形的综合题

例7（2019•山西）数学活动---求重叠部分的面积．

问题情境：

数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°

，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．

（1）独立思考：

请回答老师提出的问题．

（2）合作交流：

“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？

请写出解答过程．

（3）提出问题：

老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．

“爱心”小组提出的问题是：

如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．

任务：

①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN的面积是．

②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：

也可在图1的基础上按顺时针旋转）．

（1）确定点G为AC的中点，从而△ADC为等腰三角形，其底边AC=8，底边上的高GD=

BC=3，从而面积可求；

（2）本问解法有多种，解答中提供了三种不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；

（3）①对于爱心小组提出的问题，如答图4所示，作辅助线，利用相似三角形、勾股定理