学年江苏省扬州市高二上学期期末考试 数学Word版含答案Word格式.docx

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10．已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为▲．

11．已知函数的定义域为R，是的导函数，且，，则不等式的解集为▲．

12．已知，，动点满足．设点到点的距离为，则的取值范围为▲．

13．斜率为直线经过椭圆的左顶点，且与椭圆交于另一个点，若在轴上存在点使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率

为▲．

14．已知函数在的值域为，则实数的最小值为▲．

二、解答题：

（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知命题：

“椭圆的焦点在轴上”；

命题：

“关于的不等式在R上恒成立”．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．

16．（本题满分14分）

为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”

的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：

序号

分数段

人数

频率

1

10

0.20

2

①

0.44

3

②

③

4

0.08

合计

50

（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；

（2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；

（3）甲同学的初赛成绩在，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．

17．（本题满分14分）

已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线圆相切．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于不同的两点且，求的值．

18．（本题满分16分）

某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．

（1）当时，求比值取最小值时的值；

（2）经过调查，环保部门发现：

当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）

19．（本题满分16分）

已知椭圆的右准线方程为，又离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，点为椭圆上异于任意一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：

为定值．

20．（本题满分16分）

已知：

函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数，讨论的单调性；

（3）若函数的图象与轴交于两点，且．设，其中常数、满足条件，且．试判断在点处的切线斜率的正负，并说明理由．

高二数学参考答案2018．1

1．R，2．3．4．5．6．457．

8．9．410．11．12．13．14．

15．解：

（1）真：

椭圆的焦点在轴上∴…………5分

（2）∵“或”为真命题、“且”为假命题∴真假或假真………………7分

真：

∵关于的不等式在R上恒成立

∴，解得：

……………………11分

∴或解得：

或

∴实数a的取值范围是或．……………………14分

16．解：

（1）①22；

②14；

③0.28；

……………………3分

（2）；

……………………8分

（3）记“甲同学被抽取到”为事件，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为：

甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；

满足事件的基本事件：

甲乙、

甲丙、甲丁，共3个基本事件，则……………………13分

答：

此次数学史初赛的平均成绩为，甲同学被抽取到的概率为．……………………14分

17．解：

（1）设，∵直线圆相切，且圆的半径为3

∴，解得或∵∴……………………5分

∴圆的方程为：

；

……………………7分

（2）若直线的斜率不存在，则直线∴，不符合题意，舍；

若直线的斜率存在，设：

∵∴点到直线的距离为，即，

化简得：

∴……………………9分

联立方程：

，消去得：

∴……14分

18．解：

（1）当时，，∴……………………3分

列表得：

单调减

极小值

单调增

…………………6分

∴在上单调减，在上单调增∴在时取最小值；

……………………8分

（2）∵根据

（1）知：

在上单调减，在上单调增

∵确保恰好3年不需要进行保护∴，解得：

实数的取值范围为．……………………16分

19．解：

（1）∵椭圆的右准线方程为∴∵离心率为∴

∴∴∴椭圆的方程为：

………………6分

（2）方法

（一）设点，则，，即．

当时，，则，∴………………8分

∵点异于点∴

当且时，设直线方程为：

，它与轴交于点

直线方程为：

，它与轴交于点

∴，…………12分

∴

为定值．……………………16分

方法

（二）若直线斜率不存在，则直线方程为：

，此时，则，

∴………………8分

若直线斜率存在，设直线方程为：

，且

∴且………………10分

则联立方程：

，解得：

或，

即点∵点异于点∴

∴

∴直线的方程为：

，

则且………………14分

∴为定值．………………16分

20．解：

（1）当时，∴，令，则，列表得：

∴有极小值，无极大值；

……………………3分

（2），∴，设

①当时，恒成立，即恒成立，∴在上单调减；

②当且，即时，恒成立，且不恒为0，则恒成立，且不恒为0，∴在上单调减；

③当且，即时，

有两个实数根：

，且

∴∴当或时，，；

当时，，；

∴在和上单调减，在上单调增．

∴综上：

当时，在上单调减；

当时，在和上单调减，在上单调增．……………………7分

（3），，问题即为判断的符号．

∵函数的图象与轴交于两点，且

∴两式相减得：

∴……………………9分

∵且∴∵∴………………11分

研究：

的符号，即判断的符号．

令，，设

方法

（一）设，其对称轴为：

∴在上单调减，则，即在上恒成立∴在上单调增∴，即……………14分

∵∴

∴，即

∴在点处的切线斜率为正．……………………16分

方法

（二）

∵，∴∴在上恒成立

∴在上单调增∴，即……………14分