新人教版九年级上册数学2132《实际问题与一元二次方程2》名师教案Word下载.docx

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预习自测

1.如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，如果AB=8cm，阴影部分的面积是24cm2，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为　　cm．

【知识点】一元二次方程的应用.

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：

设小矩形的长为xcm，则小矩形的宽为（8﹣x）cm，

根据题意得：

x[x﹣（8﹣x）]=24，

解得：

x=6或x=﹣2（舍去），

【思路点拨】设小矩形的长为xcm，则小矩形的宽为（8﹣x）cm，然后表示出阴影部分的宽，从而根据其面积列出方程求解即可．

【答案】6cm．

2.如图，圆环的形状如图所示，它的面积是200cm2，外沿大圆的半径是9cm，求内沿小圆的半径的长．若设小圆的半径长为xcm，可列方程为　　．

设小圆的半径长为xcm，由题意，得

81π﹣πx2=200．

【思路点拨】根据圆环的面积公式：

圆环的面积=大圆的面积﹣小圆的面积，把数据代入公式即可列出方程．

【答案】81π﹣πx2=200．

3.如图，张叔叔计划利用一面墙（墙长为16m）、32m长的篱笆及一扇宽为1m的木门修建一个面积为130m2的矩形鸡场．若设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为　　m，依题意列方程　　．解之得：

　　．满足题意的x=　　．∴AB=　　m，BC=　　m．

【知识点】一元二次方程的应用

设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为（32+1﹣2x）=（33﹣2x）m，

依题意列方程：

x（33﹣2x）=130．

解之得：

x1=

，x2=10．

满足题意的x=10．

∴AB=10m，BC=13m．

【思路点拨】设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为（33﹣2x）m，根据鸡场是面积为130m2的矩形，列出方程求解即可．

【答案】

（33﹣2x）；

x（33﹣2x）=130；

，x2=10；

10；

13．

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，点P以1cm/s的速度由点A向终点C运动，点Q以2cm/s的速度由点C向终点B运动，当其中一点到达自己的终点时，另一点随之停止运动．现已知AC=12cm，BC=9cm，设运动了t秒时，S△PQC=

S△ABC，则t的值为　　．

由题意得：

PC=（12﹣t）cm，CQ=2t，

则

×

2t（12﹣t）=

9×

12

t=3或t=9（舍去）．

【思路点拨】分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PQC=

S△ABC列出方程求解．

【答案】3s．

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）列方程解应用题的一般步骤：

审，找，设，列，解，检验，答

（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解.

（3）正方形，长方形，三角形，圆等几何图形的周长及面积计算公式；

长方体，正方体的体积及表面积计算公式.

2.问题探究

探究一面积体积问题★

活动1面积问题

例.如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．

师问：

（1）挂图长为cm，宽为cm.

（2）等量关系是：

___________.

生答：

（1）80+2x；

50+2x

（2）挂图面积为5400cm2.

师问:

如何列方程？

解：

挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；

所以（80+2x）（50+2x）=5400，

即4x2+160x+4000+100x=5400，

所以4x2+260x﹣1400=0．

即x2+65x﹣350=0．

【思路点拨】找出挂图的长和宽，根据其积为5400，即长×

宽=5400，列方程进行化简即可．

【设计意图】掌握在几何问题中找长方形的长和宽.

活动2体积问题

如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：

（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．

（2）请列出关于x的方程．

（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为_______m，进而得到容积为_______.

（2）等量关系是：

_________.

（1）x+2；

x（x+2）；

（2）容积是15m3.

如何列方程?

（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m．

容积为x（x+2）×

1=x2+2x；

（2）x2+2x=15．

教师点拨：

（1）表示出长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m，进而得到容积为x（x+2）即可．

（2）由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，根据

（1）列方程即可．

【设计意图】考查列代数式以及由实际问题列一元二次方程，利用长方体的体积计算公式来解决问题．

探究二勾股定理中的一元二次方程★

活动1勾股定理的应用

例.直角三角形的三边长是3个连续偶数，求这个三角形的三边长.

（1）设最短边为2x，另外两边长为:

________,_________.

__________.

生答

（1）2x+2，2x+4，

（2）直角三角形两直角边的平方和=斜边的平方.

如何列方程求解

设最短边为2x，则另外两边的长为2x+2，2x+4，

（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2；

化为一般形式为：

x2﹣2x﹣3=0．

故x1=3，x2=-1（舍）

所以三边长为6,8,10.

根据一边长表示出另外两边的长，然后利用勾股定理列出方程即可；

【设计意图】学会用字母表示直角三角形的三边，继而通过勾股定理寻找等量关系.

活动2航行问题中的勾股定理

例.如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，台风中心

海里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？

若会，试求轮船最初遇到台风的时间；

若不会，请说明理由.

（1）设t时刻，轮船行驶到C点，此时AC=；

台风中心运动到E点，此时AE=；

（1）AC=20t；

AE=100-40t；

（2）EC2=AC2+AE2.

如何列方程求解?

若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风．

设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示：

则可知AC=20t，AE=100-40t，

根据勾股定理得：

EC2=AC2+AE2,

当EC=

时，

整理得出：

t2-4t+3=0

t1=1，t2=3，

∵求最初遇台风时间，∴t=1.

答：

点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时．

根据勾股定理可得出此时轮船到台风中心的距离，进而可列方程.

【设计意图】训练在方向角背景下用字母表示相关边长，再利用勾股定理找等量关系.

探究三动点问题★▲

活动1三角形背景下的三角形面积

例.已知：

如图，在△ABC中，∠B=90°

，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）在

（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？

说明理由．

（1）设经过x秒钟，BQ=_______,BP=________.

（1）2x，5－x；

（2）BP2+BQ2=PQ2

（1）设：

经过x秒以后△PBQ面积为6

（5﹣x）×

2x=6

整理得：

x2﹣5x+6=0

x=2或x=3

2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2

（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，

∴（5﹣x）2+（2x）2=52，

5x2﹣10x=0，

x（5x﹣10）=0，

x1=0，x2=2，

∴当x=0或2时，PQ的长度等于5cm．

（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，

2x=8

x2﹣5x+8=0

△=25﹣32=﹣7＜0

∴△PQB的面积不能等于8cm2．

（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．

（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；

（3）

（1）中面积=8cm2，求解方程.

【设计意图】训练在几何背景下用字母表示变化的边长，根据面积列方程式解决问题.

活动2四边形背景下的三角形面积

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°

，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2

cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为秒时，△BQP的面积为24cm2．

整个运动过程中有几种情况？

分两种情况讨论：

①点Q在CD上；

②点Q在DA上．

两种情况的时间的分界点是多少？

4s.

当Q在CD上，要表示△BPQ的面积，需要知道它的底和高.若以BP为底，则需要做什么辅助线？

过Q点作QG⊥BC于G.

此时，BP=_________,QG=_____________.

14－t，2t.

当Q在AD上，要表示△BPQ的面积，需要知道它的底和高.若以BP为底，则需要做什么辅助线？

14－t，8.

如