北京市昌平区届高三上学期期末考试数学试题文档格式.docx
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（A）
（B）
（C）
（D）
（9）设为非零向量，则“，”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则
（A）最少需要16次调动，有2种可行方案
（B）最少需要15次调动，有1种可行方案
（C）最少需要16次调动，有1种可行方案
（D）最少需要15次调动，有2种可行方案
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）在的展开式中，的系数为．（用数字作答）
（12）各项均为正数的等比数列中,,则_______.
（13）抛物线上一点到焦点的距离等于4，则=_____；
点的坐标为______.
（14）在中,,则_______．
（15）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有
155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________种.
（16）已知函数.
①的最大值为________；
②设当时，取得最大值，则______．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题13分）
已知等差数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若，求的最小值.
（18）（本小题13分）
为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：
个/分钟）：
学生编号
1
2
3
4
5
跳绳个数
179
181
168
177
183
踢毽个数
85
78
79
72
80
（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？
（）设某学生跳绳个/分钟，踢毽个/分钟.当，且时，称该学生为“运动达人”.
从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；
从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.
（19）（本小题14分）
已知函数其中.
（Ⅰ）若函数的最小正周期为，求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.
（20）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？
若存在，求的值？
若不存在，说明理由.
（21）（本小题13分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，焦点为，圆O的直径为．
（Ⅰ）求椭圆C及圆O的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆
C交于两点．记的面积为，证明：
．
（22）（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为２的切线方程；
（）证明：
（）确定实数的取值范围，使得存在,当时,恒有．
数学试卷参考答案及评分标准2020.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
答案
D
C
A
B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10） （11）；
（12） （13） （14）；
（第一空３分，第二空２分）
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为.依题意有
解得
所以.
（Ⅱ）因为，
所以.
因为，即，
所以的最小值为
（16）（本小题满分13分）
（Ⅰ）设高一年级有人，高二年级有人.
采用分层抽样，有.
所以高一年级有人，高二年级有人.
（）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.
故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.
（）的所有可能取值为.
,.
所以的分布列为
故的期望.
（17）（本小题满分14分）
（Ⅰ）因为
.
因为的最小正周期为，即，所以.
（Ⅱ）因为，所以.
若在区间上取到最大值，只需，所以.
（18）（本小题满分14分）
（Ⅰ）在四棱锥中，
因为平面平面，平面平面，
又因为，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
（Ⅱ）取中点，连接.
因为，
所以.
因为平面，
所以四边形是平行四边形.所以.
如图建立空间直角坐标系，则
.
设平面的法向量为，则
即
令，则.所以.
因为平面的法向量，
所以
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）法一：
设是棱上一点，则存在使得.
设，则
所以
所以所以.
因为所以平面.
所以是平面的一个法向量.
若平面，则.所以
因为方程组无解，所以在棱上不存在点，使得平面.
法二：
因为平面，所以平面平面.
因为平面平面，
若在棱上存在点，使得平面，则平面.
因为平面，所以平面.
所以在棱上不存在点，使得平面.
（19）（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题意，椭圆C的方程为.
可得，解得
所以椭圆C的方程为．
因为焦点在轴上，所以椭圆C的焦点为．
所以直径为的圆O的方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P，
设直线的斜截式方程为.
因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为.
即.
因为直线与椭圆C相交于两点，
由，整理得，.
设，则.
因为．
又，所以.所以.
又因为，所以．
所以．
设，则，则.
令.则.
设
因为在上单调递减，所以.
（20）（本小题满分13分）
（）函数的定义域为.
由得．
令，即，得，（舍）．
又，所以曲线的斜率为２的切线方程为．
（）设，则
.
令得，（舍）．
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
（）由（）可知，
当时，，
所以不存在，当时，恒有；
所以不符合题意.
当时，对于，，
当时，设.
令即.
解得.
又因为，所以.
取.当时，；
所以在上单调递增.
所以.即.所以符合题意.
所以实数的取值范围是.
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