数学定位考试试题终稿含答案Word格式.docx
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(7)已知直线经过点,则原点到点的距离可以是
(8)等差数列的前项和为.已知,.记,则数列的
(A)最小项为(B)最大项为
(C)最小项为(D)最大项为
(9)抛物线的焦点为.对于上一点,若的准线上只存在一个点,使得为等腰三角形,则点的横坐标为
(10)在正方体中,点在正方形内,且不在棱上,则
(A)在正方形内一定存在一点,使得
(B)在正方形内一定存在一点,使得
(C)在正方形内一定存在一点,使得平面平面
(D)在正方形内一定存在一点,使得平面
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
(11)函数的定义域为________.
(12)已知双曲线(其中)的渐近线方程为,则________,的右焦点坐标为________.
(13)已知平面向量与的夹角为,则________.
(14)已知函数.若非零实数,使得对都成立,则
满足条件的一组值可以是________,________.(只需写出一组)
(15)已知曲线,,其中.
当时,曲线与有个公共点;
当时,曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积;
,曲线围成的区域面积等于围成的区域面积;
④,曲线围成的区域内整点(即横、纵坐标均为整数的点)个数不少于曲线围成的区域内整点个数.
其中,所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题,共85分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(16)(本小题14分)
在中,,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的面积.
条件①:
,;
条件②:
,为等腰三角形.
注:
如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
(17)(本小题共14分)
如图,长方体中,,
,点为的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
(18)(本小题14分)
某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务,付款方式分为四个档次:
1期、2期、3期和4期.记随机变量、分别表示顾客购买型手机和型手机的分期付款期数,根据以往销售数据统计,和的分布列如下表所示:
(Ⅰ)若某位顾客购买型和手机各一部,求这位顾客两种手机都选择分期付款的概率;
(Ⅱ)电商平台销售一部型手机,若顾客选择分期付款,则电商平台获得的利润为300元;
若顾客选择分期付款,则电商平台获得的利润为350元;
若顾客选择分期付款,则电商平台获得的利润为400元;
若顾客选择分期付款,则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部型手机所获得的利润为(单位:
元),求的分布列;
(Ⅲ)比较与的大小.(只需写出结论)
(19)(本小题14分)
已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线倾斜角为,求的值;
(Ⅱ)若在上单调递增,求的最大值;
(Ⅲ)请直接写出的零点个数.
(20)(本小题14分)
已知椭圆.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)经过原点的直线与椭圆交于两点,直线与直线垂直,且与椭圆的另一个交点为.
(i)当点为椭圆的右顶点时,求证:
为等腰三角形;
(ii)当点不是椭圆的顶点时,求直线和直线的斜率之比.
(21)(本小题15分)
对于给定的区间和非负数列若存在使,成立,其中,,则称数列可“嵌入”区间.
(Ⅰ)分别指出下列数列是否可“嵌入”区间;
①;
②.
(Ⅱ)已知数列满足,若数列可“嵌入”区间,求数列的项数的最大值;
(Ⅲ)求证:
任取数列满足,均可以“嵌入”区
间.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
数学参考答案
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
(1)A
(2)D(3)D(4)B(
5
)C
(6)C(7)B(8)C(9)D(10)A
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
(11)(12)
(13)(14) (答案不唯一)
(15)④
三、解答题(共6小题,共85分)
(16)(共14分)
解:
选条件①:
,
(Ⅰ)在中,因为,…………3分
且,,
所以
所以,(舍).…………5分
由正弦定理得.…………8分
因为,
所以.…………9分
所以.…………10分
(Ⅱ)因为…………13分
在中,,,
所以.…………14分
选条件②:
(Ⅰ)在中,因为,
所以为钝角.
因为为等腰三角形,
所以为顶角.
所以.…………2分
因为,…………5分
所以.
(17)(共14分)
(Ⅰ)连接交于点,连接.
因为为长方体,
所以为矩形.
所以点为中点.
又因为为中点,
所以在中,.…………2分
又平面,平面,…………4分
所以平面.…………5分
(Ⅱ)以D为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系.…………6分
则,
所以,,.
所以…………8分
又,…………9分
所以平面.…………10分
(Ⅲ)因为为长方体,
所以平面
所以取平面的法向量为,…………11分
再由(Ⅱ),取平面的法向量为.…………12分
所以.
由题知二面角为钝角,所以其余弦值为.…………14分
(18)(共14分)
(Ⅰ)设事件为“这位顾客两种手机都选择分期付款”.…………1分
故.…………4分
(Ⅱ)的所有可能值为.…………5分
所以的分布列为
…………11分
(Ⅲ).…………14分
(19)(共14分)
(Ⅰ)因为,
.
由题设知,
即,解得.…………5分
(Ⅱ)设.
所以.…………7分
令,.
因为当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以的最小值为,
即的最小值为.…………9分
因为在上单调递增,
所以对成立.
所以的最大值为.…………11分
(Ⅲ)当时,只有1个零点.…………12分
当时,有3个零点.…………14分
(20)(共14分)
(Ⅰ)因为椭圆方程,
所以.…………1分
所以离心率.…………4分
(Ⅱ)(i)设.
由题设知,.…………5分
所以点在以线段为直径的圆上,
所以有.…………6分
又.…………7分
解得(舍).
又.…………10分
所以,即为等腰三角形.
(ii)法1:
设,且,,.
记直线的斜率分别为.
所以.…………11分
所以.…………12分
又.
因为
所以.…………13分
所以.
所以,即直线和直线的斜率之比为.…………14分
(ii)法2:
因为点不是椭圆的顶点,
所以直线的斜率都存在且不为0,
设直线的方程为
由得
由所以.
设,的中点.
因为…………12分
所以
,…………13分
因为
又因为
所以.…………14分
(21)(共15分)
(Ⅰ)①不可以;
②可以.…………4分
(Ⅱ)因为,
所以.…………6分
当为奇数时,取
当为偶数时,取
此时可取,所以.…………10分
(Ⅲ)设数列满足,
构造数列如下:
,其中.
根据的定义知道,
当时,因为,所以.
而
所以任取数列满足,均可以“嵌入”区间.