勾股定理中的动点题Word格式.docx

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解答：

解：

（1）△PAE≌△EDM，

理由如下：

依照题意，得BP=AE=DM=2t，

∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t（1分）∵在梯形ABCD中，AB=DC，

∴∠PAE=∠EDM；

（2分）又AP=DE，AE=DM，∴△PAE≌△EDM．（3分）

（2）证明：

∵△PAE≌△EDM，∴PE=EM，∠1=∠2（4分）

∵∠3+∠2=∠1+∠BAD，∴∠3=∠BAD；

（5分）

∵AB=AD，∴；

（6分）∴△EPM∽△ABD．（7分）

（3）过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于F，过P点作PG⊥AD交于G；

在Rt△AFB中，∠4=180°

﹣∠BAD=180°

﹣120°

=60°

，

∴BF=AB•sin∠4=4•sin60°

=

∴S△ABD=．（8分）

在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=（4﹣2t）•sin60°

=（2﹣t）．

AG=AP•cos∠4=（4﹣2t）•cos60°

=2﹣t，

∴GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t．

∵PE2=PG2+GE2∴[（2﹣t）]2+（2+t）2=4t2﹣8t+16．

∵△EPM∽△ABD，∴=（9分）

∴S△EPM=4×

=；

∴S与t的函数关系式为S=（0≤t≤2）（10分）

即S=

∴当t=1，S有最小值，最小值为．（12分）

另一解法（略解）在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=（4﹣2t）•sin60°

=（2﹣t）．

=2﹣t．

在Rt△MFD中，FM=DM•sin∠MDF=2t•sin60°

=，DF=DM•cos∠MDF=2t•cos60°

=t．

∴GF=AG+AD+DF=2﹣t+4+t=6，GE=AG+AE=2﹣t+2t=2+t，

EF=ED+DF=4﹣2t+t=4﹣t；

∴S△EPM=S梯形PGFM﹣S△PEG﹣S△EFM=．（0≤t≤2）

二、（2010•湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°

，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时刻为t秒（0＜t＜5）．

（1）求证：

△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

相似三角形的判定与性质。

（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA（1分）

又AC⊥BC，∠ACB=90°

，∴∠D=∠ACB=90°

，（2分）

∴△ACD∽△BAC（3分）．

（2）……………………4分

∵△ACD∽△BAC∴……………………5分

即解得：

……………………6分

（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，

∴△ACB∽△EGB……………………7分

∴即故…………………8分

==故当t=时，y的最小值为19

3、（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B动身沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；

点Q从点C动身沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时刻是t秒（t＞0）．

（1）当点P抵达终点C时，求t的值，并指出现在BQ的长；

（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC；

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，别离求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；

（没必要写出t的取值范围）

（4）△PQE可否成为直角三角形？

若能，写出t的取值范围；

若不能，请说明理由．

等腰梯形的性质；

全等三角形的判定与性质；

直角三角形的性质；

平行四边形的判定。

（1）t=（50＋75＋50）÷

5=35（秒）时，点P抵达终点C．……………（1分）

现在，QC=35×

3=105，∴BQ的长为135－105=30．………………（2分）

（2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD

为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t

得50＋75－5t=3t，解得t=．经查验，当t=时，有PQ∥DC．………（4分）

（3）①当点E在CD上运动时，如图9．别离过点A、D

作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，

从而FH=AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．

又QC=3t，从而QE=QC·

tanC=3t·

=4t．（注：

用相似三角形求解亦可）

∴S=S⊿QCE=QE·

QC=6t2；

………………………………………………………（6分）

②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，

由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，

从而ED=QH=QC－CH=3t－30．

∴S=S梯形QCDE=（ED＋QC）DH=120t－600．…………………………（8分）

（4）△PQE能成为直角三角形．……………………………………………………（9分）

当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．…（12分）

（注：

（4）问中没有答出t≠或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）

下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：

①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PB·

sinB=4t，又有QE=4t=PG，易患四边形PGQE为矩形，现在△PQE总能成为直角三角形．

②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8．

由QK⊥BC和AD∥BC可知，现在，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，

即5t－50＋3t－30≠75，解得t≠．

③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），

即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×

3－30=45，

可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ可不能是直角．

由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ必然是锐角．关于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，

只有当点P与C重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°

，△PQE为直角三角形．

综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．

4、（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B动身沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；

同时，线段EF由DC动身沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时刻为（s）（）．解答下列问题：

（1）当为何值时，？

（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；

（3）是不是存在某一时刻，使？

若存在，求出现在的值；

若不存在，说明理由．

（4）连接，在上述运动进程中，五边形的面积是不是发生转变？

说明理由．

平行线的判定；

依如实际问题列二次函数关系式；

三角形的面积；

（1）∵∴．

而，∴，∴．

∴当．2分

（2）∵平行且等于，∴四边形是平行四边形．∴．

∵，∴．

∴．∴．．∴．

过B作，交于，过作，交于．

．∵，∴．

又，，，

．6分

（3）．

若，则有，解得

（4）在和中，

∴．

∴在运动进程中，五边形的面积不变．12分

五、如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°

，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm．点P由点C动身沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；

同时，线段EF由AB动身沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF．当点P与点Q相遇时，所有运动停止．若设运动时刻为t（s）．

（1）求AB的长度；

（2）当PE∥CD时，求出t的值；

（3）①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；

②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值是多少？

（直接写出答案）

等腰三角形的判定；

直角梯形；

三角形的外接圆与外心。

（1）过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形；

∴AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；

Rt△ABM中，AM=12cm，BM=BC﹣MC=6cm；

由勾股定理，得：

AB=6cm（只写答案给1分）（3分）

（2）∵∠D=90°

，AD=9cm，CD=12cm，∴AC==15cm

∴AP=15﹣t当PE∥CD时△AEP∽△ADC

∴=即解得（符合题意）∴当PE∥CD时，t=45/8

（3）①过点E，F作EG⊥AC于G，FH⊥AC于H．因为AC=BC；

EF‖AB易证AQ=AE=t（1分）

在RT⊿ADC中，sin∠DAC=DC/AC=12/15∴EG=AE×

sin∠DAC=12/15t；

∵AD∥BC∴∠ACB=∠DAC∴FH=CF×

sin∠ACB=CF×

sin∠DAC=12/15（15-t）=12-12/15t

PQ=15-2tEG+FH=12

∴S△PEF=S△PQE+S△PQF=+==﹣12t+90；

②易知：

AE=CP=t，AP=CF=CQ=15﹣t，∠EAP=∠FCP，

∴△AEP≌△CPF，∴EP=PF；

∵EF是⊙O的直径∴∠EPF=90°

；

∴△EPF是等腰直角三角形；

易知EF=AB=6cm；

∴S=1/2×

6×

3=45cm2；

代入①的函数关系式，得：

﹣12t+90=45，解得t=．（3分）

点评：

此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．

六、如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标别离为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O动身沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；

同时，线段DE由CB动身沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM．

若设运动时刻为t（s）（0＜t＜