广东省实验中学届高三上学期第三次阶段考试数学理试题+Word版含答案文档格式.docx

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4．若，则（）

A．B．C．D．

5．是方程表示的图形为双曲线的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．点是所在平面上一点，若,则与的面积之比是（）

A．B．C．D．

7．己知则函数的图象大致为（）

8．某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课，要求语文与化学相邻，

数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（）

A．16B．24C．8D．12

9．己知函数在区间上是增函数，且

在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

10．设变量满足约束条件，则的最大值为（）

11．中，，满足，则的面积的最大值为（）

A．B．2C．D．

12．椭圆上有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点在

线段的延长线上，且，则该椭圆离心率的取值范围是（）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．设函数，则曲线在点处的切线方程是

14．的展开式中，的系数为（用数字填写答案）

15．己知函数有极值，则实数的取值范围为

16．点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使

与构成直二面角，则翻折后的最小值是．

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个

试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．

（一）必考题：

共60分．

17.（本小题满分12分）

设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，己知

，，

（1）求，的通项公式；

（2）若数列满足对任意都成

立，求证：

数列是等比数列．

18.（本小题满分12分）

如图，在梯形中，，四边形为

矩形，平面平面

（I）求证：

平面

（II）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二

面角为试求的最小值．

19．（本小题满分12分）

己知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点

在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于

点

（I）求椭圆的方程；

（II）以为直径的圆是否经过定点？

若经过，求出定点的坐标；

若不经过，请说明理由．

20.（本小题满分12分）

某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的

测试。

现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代

表）

（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次续航里程近似服从正态分布

，经计算第

（1）问中的样本标准差近似值为50，用样本平均数作为的近似值，

用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米

到400千米之间的概率。

参考数据：

若随机变量服从正态分布，则，

（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户

可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停止“胜利大本营”，

则可获得购车优惠券3万元。

己知硬币出现正、反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第

1格、第2格、…，第20格。

遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。

若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+l），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到

k+2），直到遥控车移动到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。

设

遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参加游戏一次

的顾客获得优惠券金额的期望值。

21．己知函数，

1）判断函数在区间上零点的个数；

2）函数在区间上的极值点从小到大分别为证明：

I．

II．对一切，成立。

（二）选考题：

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（本小题满分10分）选修4-4:

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐

标方程为，

（I）求的直角坐标方程；

（II）曲线的参数方程为（为参数）求与的公共点的极坐标．

23.（本小题满分10分）选修4-5:

不等式选讲

设

（I）求的解集；

（II）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围。

数学（理科）参考答案

一、选择题（12题，每题5分，共60分）

1．A2．C3．D4．C5．A6．C

7．D8．A9．B10．A11．A12．B

二、填空题（4题，每题5分，共20分）

13．14．15．16．

三、解答题（5题，每题12分，共60分）

17．（本小题满分12分）

解：

（1）由，设等差数列的公差为，等比数列的公比为（1分）

得即①（2分）

又得即②（3分）

综合①②，解得，所以（-6舍）（4分）

所以，（6分）

（2）由题目得③

所以④

④一③得：

⑤（8分）

所以⑥

⑥一⑤，得：

所以,（10分）

在③中，令,得令得,所以（11分）

因为,所以是以1为首项，2为公比的等比数列。

（12分）

（I）在梯形中,

（1分）

即（2分）

又平面平面平面平面（4分）

平面（5分）

（II）由（I）可知直线两两垂直，分别以直线为轴、轴、轴建立

空间直角坐标系，如图所示，

在三角形中，由余弦定理得：

令则，，，

设为平面的一个法向量，由得

取得得（9分）

是平面的一个法向量，

（11分）

当时，有最大值的最小值为（12分）

19.（本小题满分12分）

（1）设椭圆方程为

代入得，又，所以，解得：

所以椭圆方程为：

（4分）

（2）设则，设，

因为三点共线，所以，即所以（6分）

同理三点共线，可得（7分）

所以，

所以以为直径的圆的方程为：

（9分）

因为（11分）

所以，令，得，所以以为直径的圆经过定点，（12分）

（1）（千米）（3分）

（2）因为服从正态分布

所以（6分）

（3）遥控车开始在第0格为必然事件，,第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概

率为,即。

遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种。

①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为

②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为

所以（8分）

当时，数列是公比为的等比数列（9分）

,,

以上各式相加，得

（10分）

∴获胜的概率

失败的概率

设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0

的期望

∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元。

21.（本小题满分12分）

（1）

当时，

在上单调递减，在上无零点

在上单调递增，

在上有唯一零点

当时，，在上单调递减

，，在上有唯一零点

综上，函数在区间上有两个零点。

（2）

由

（1）知在无极值点；

在有极小值点，即为；

在有极大值点，即为，同理可得，在有极小值点

在有极值点

由得

，，，

，，由函数在单调递增

得

由在单调递减得

（8分）

同理，，，

由在上单调递减得

且，

当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，

即结论成立。

当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，

即，结论也成立。

综上，对一切成立。

22．（本小题满分10分）

（I）将代入得：

（II）由题设可知，是过坐标原点，倾斜角为的直线，

因此的极坐标方程为或,（6分）

将代入解得：

不合题意，

故,公共点的极坐标为.（10分）

23．（本题满分10分）

（I）由得：

或或

解得

的解集为

（II）

当且仅当时，取等号．

由不等式对任意实数恒成立，可得

解得：

或

故实数的取值范围是（10分）