步步高高考数学江苏理考前三个月配套练习33抽象函数与函数图象含答案解析Word格式.docx

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即f（x）＋f（2－x）＝

y＝f（x）－g（x）＝f（x）＋f（2－x）－b，所以y＝f（x）－g（x）恰有4个零点等价于方程f（x）＋f（2－x）－b＝0有4个不同的解，即函数y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）的图象有4个公共点，由图象知＜b＜2.

3．（2016·

天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f（2|a－1|）>

f（－），则a的取值范围是________．

解析　∵f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，

∴在（0，＋∞）上单调递减，f（－）＝f（），

∴f（2|a－1|）>

f（），∴2|a－1|<

＝，

∴|a－1|<

，即－<

a－1<

，即<

a<

.

4．（2015·

浙江）已知函数f（x）＝则f（f（－3））＝________，f（x）的最小值是________．

答案　0　2－3

解析　f（f（－3））＝f

（1）＝0.

当x≥1时，f（x）＝x＋－3≥2－3＜0，当且仅当x＝时，取等号；

当x＜1时，f（x）＝lg（x2＋1）≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号．

∴f（x）的最小值为2－3.

高考必会题型

题型一　与函数性质有关的简单的抽象函数问题

例1　已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

答案　充要

解析　①∵f（x）在R上是偶函数，

∴f（x）的图象关于y轴对称．

∵f（x）为[0,1]上的增函数，

∴f（x）为[－1,0]上的减函数．

又∵f（x）的周期为2，

∴f（x）为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．

②∵f（x）为[3,4]上的减函数，且f（x）的周期为2，

又∵f（x）在R上是偶函数，∴f（x）为[0,1]上的增函数．

由①②知“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的充要条件．

点评　抽象函数的条件具有一般性，对待填空题可用特例法、特值法或赋值法．也可由函数一般性质进行推理．

变式训练1　已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0.

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的单调性；

（3）若f（3）＝－1，解不等式f（|x|）＜－2.

解　

（1）令x1＝x2＞0，

代入f（）＝f（x1）－f（x2），

得f

（1）＝f（x1）－f（x2）＝0，故f

（1）＝0.

（2）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则＞1.

∵当x＞1时，f（x）＜0，

∴f＜0，即f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

故函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减．

（3）由f＝f（x1）－f（x2），

得f（）＝f（9）－f（3）．

而f（3）＝－1，∴f（9）＝－2，

∴原不等式为f（|x|）＜f（9）．

∵函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，

∴|x|＞9，∴x＜－9或x＞9.

∴不等式的解集为{x|x＜－9或x＞9}．

题型二　与抽象函数有关的综合性问题

例2　对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（－x）＝－f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．

（1）已知二次函数f（x）＝ax2＋2x－4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？

并说明理由；

（2）若f（x）＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

解　f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）＋f（－x）＝0有解．

（1）当f（x）＝ax2＋2x－4a（a∈R）时，

方程f（x）＋f（－x）＝0即2a（x2－4）＝0.

因为方程有解x＝±

2，

所以f（x）为“局部奇函数”．

（2）当f（x）＝2x＋m时，f（x）＋f（－x）＝0可化为2x＋2－x＋2m＝0，

因为f（x）的定义域为[－1,1]，所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]上有解．

令t＝2x∈[，2]，则－2m＝t＋.

设g（t）＝t＋，t∈[，2]，

则g′（t）＝1－，t∈[，2]．

当t∈时，g′（t）＜0，故g（t）在（0,1）上为减函数；

当t∈（1,2）时，g′（t）＞0，故g（t）在（1,2）上为增函数．

所以函数g（t）＝t＋，t∈[，2]的值域为[2，]，

由2≤－2m≤，得－≤m≤－1，

故实数m的取值范围是[－，－1]．

点评　

（1）让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质．

（2）解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题，而导致出错．要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数，而不是具体的某一个函数．因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法．

变式训练2　已知定义在[0,1]上的函数f（x）满足：

①f（0）＝f

（1）＝0；

②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f（x）－f（y）|<

|x－y|.

若对所有x，y∈[0,1]，|f（x）－f（y）|<

k恒成立，则k的最小值为________．

解析　取y＝0，则|f（x）－f（0）|<

|x－0|，

即|f（x）|<

x，

取y＝1，则|f（x）－f

（1）|<

|x－1|，

（1－x）．

∴|f（x）|＋|f（x）|<

x＋－x＝，

∴|f（x）|<

不妨取f（x）≥0，则0≤f（x）<

，0≤f（y）<

，

∴|f（x）－f（y）|<

－0＝，

要使|f（x）－f（y）|<

k恒成立，只需k≥.

∴k的最小值为.

题型三　函数图象的应用与判断

例3　已知函数且f（a－1）＝0，则不等式f（x）>

a的解集为________.

答案　（0，）

解析　方法一　由f（a－1）＝0得解得a＝2，则不等式f（x）>

2⇔或解得0<

x<

，即不等式f（x）>

a的解集为（0，）．

方法二　画出函数f（x）的图象，由图可得a－1＝1，即a＝2.由图象可得不等式f（x）>

2的解集为（0，）．

点评　

（1）求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点．

（2）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．

（3）在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法．

变式训练3　形如y＝（a＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”．若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.

答案　4

解析　由题意知，当a＝1，b＝1时，

y＝＝

在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．

高考题型精练

1．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2＋x）＝f（2－x），且其导函数f′（x）满足＞0，则当2＜a＜4时，f

（2），f（2a），f（log2a）的大小关系为__________________．

答案　f（2a）＜f（log2a）＜f

（2）

解析　由函数f（x）对任意x都有f（2＋x）＝f（2－x），得函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝2.

因为函数f（x）的导函数f′（x）满足＞0，

所以函数f（x）在（2，＋∞）上单调递减，（－∞，2）上单调递增．

因为2＜a＜4，所以1＜log2a＜2＜4＜2a.

又函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝2，

所以f

（2）＞f（log2a）＞f（2a）．

2．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：

f1（x）＝2log2（x＋1），f2（x）＝log2（x＋2），f3（x）＝log2x2，f4（x）＝log2（2x），则“同根函数”是________．

答案　f2（x）与f4（x）

解析　f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x，f2（x）＝log2（x＋2），将f2（x）的图象沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4（x）的图象，故f2（x）与f4（x）为“同根函数”．

3．设函数f（x）＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈[3，＋∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，3]

解析　由题意分析可知条件等价于f（x）在[3，＋∞）上单调递增，又∵f（x）＝x|x－a|，

∴当a≤0时，结论显然成立；

当a＞0时，f（x）＝

∴f（x）在上单调递增，

在上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，

∴0＜a≤3.

综上，实数a的取值范围是（－∞，3]．

4．在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件：

（1）P，Q都在函数y＝f（x）的图象上；

（2）P，Q两点关于直线y＝x对称，

则称点对{P，Q}是函数y＝f（x）的一对“和谐点对”．（注：

点对{P，Q}与{Q，P}看作同一对“和谐点对”）

已知函数f（x）＝则此函数的“和谐点对”有________对．

答案　2

解析　作出函数f（x）的图象，然后作出f（x）＝log2x（x＞0）关于直线y＝x对称的函数的图象，与函数f（x）＝x2＋3x＋2（x≤0）的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．

5．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：

（1）对任意的x∈[0,1]，恒有f（x）≥0；

（2）当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f（x1＋x2）≥f（x1）＋f（x2）成立．

则下列3个函数中不是M函数的个数是________．

①f（x）＝x2；

②f（x）＝x2＋1；

③f（x）＝2x－1.

答案　1

解析　在[0,1]上，3个函数都满足f（x）≥0.

当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时：

对于①，f（x1＋x2）－[f（x1）＋f（x2）]

＝（x1＋x2）2－（x＋x）＝2x1x2≥0，满足；

对于②，f（x1＋x2）－[f（x1）＋f（x2）]＝

[（x1＋x2）2＋1]－[（x＋1）＋（x＋1）]＝2x1x2－1＜0，不满足；

对于③，f（x1＋x2）－[f（x1）＋f