高考数学二轮复习习题 专题一 第五讲导数的应用一函数单调性极值最值Word格式.docx

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，故m≤，故选D.

D

5．函数f（x）＝x2－lnx的最小值为（　　）

A.B．1

C．0D．不存在

f′（x）＝x－＝，且x>

0.令f′（x）>

0，得x>

1；

令f′（x）<

0，得0<

x<

1.

∴f（x）在x＝1处取得最小值，且f

（1）＝－ln1＝.

6．已知常数a，b，c都是实数，f（x）＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′（x），f′（x）≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f（x）的极小值等于－115，则a的值是（　　）

A．－B.

C．2D．5

由题意知，f′（x）＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集为[－2,3]，且在x＝3处取得极小值－115，

故有解得a＝2.

C

7．（2017·

沈阳模拟）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f

（1）＝0，当x>

0时，xf′（x）<

2f（x），则使得f（x）>

0成立的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（0,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）∪（1，＋∞）D．（－1,0）∪（0,1）

根据题意，设函数g（x）＝（x≠0），当x>

0时，g′（x）＝<

0，说明函数g（x）在

（0，＋∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f

（1）＝0，所以g

（1）＝0，

故g（x）在（－1,0）∪（0,1）上的函数值大于零，即f（x）在（－1,0）∪（0,1）上的函数值大于零．

8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若x2f′（x）＋xf（x）＝sinx（x∈（0,6）），f（π）＝2，则下列结论正确的是（　　）

A．xf（x）在（0,6）上单调递减B．xf（x）在（0,6）上单调递增

C．xf（x）在（0,6）上有极小值2πD．xf（x）在（0,6）上有极大值2π

因为x2f′（x）＋xf（x）＝sinx，x∈（0,6），所以xf′（x）＋f（x）＝，设g（x）＝xf（x），x∈（0,6），

则g′（x）＝f（x）＋xf′（x）＝，由g′（x）>

0得0<

π，g′（x）<

0得π<

6，所以当x＝π时，

函数g（x）＝xf（x）取得极大值g（π）＝πf（π）＝2π.

二、填空题

9．曲线y＝x2＋在点（1,2）处的切线方程为________．

∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点（1,2）处的切线的斜率k＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，

即x－y＋1＝0.

x－y＋1＝0

10．设函数f（x）＝x（ex－1）－x2，则函数f（x）的单调增区间为________．

因为f（x）＝x（ex－1）－x2，所以f′（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）．令f′（x）>

0，即（ex－1）·

（x＋1）>

0，解得x∈（－∞，－1）或x∈（0，＋∞）．所以函数f（x）的单调增区间为（－∞，－1）和（0，＋∞）．

（－∞，－1）和（0，＋∞）

11．函数f（x）＝x3－3x2＋6在x＝________时取得极小值．

依题意得f′（x）＝3x（x－2）．当x<

0或x>

2时，f′（x）>

0；

当0<

2时，f′（x）<

0.因此，

函数f（x）在x＝2时取得极小值．

2

12．（2017·

高考全国卷Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA,△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为________．

如图，连接OD，交BC于点G，

由题意，知OD⊥BC，OG＝BC.

设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，

三棱锥的高h＝＝＝，

S△ABC＝×

2x×

3x＝3x2，则三棱锥的体积V＝S△ABC·

h＝x2·

＝·

.

令f（x）＝25x4－10x5，x∈，则f′（x）＝100x3－50x4.

令f′（x）＝0得x＝2.当x∈（0,2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故当x＝2时，f（x）取得最大值80，则V≤×

＝4.

∴三棱锥体积的最大值为4cm3.

4cm3

三、解答题

13．已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

（1）对f（x）求导得f′（x）＝－－，由f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x

知f′

（1）＝－－a＝－2，解得a＝.

（2）由

（1）知f（x）＝＋－lnx－，则f′（x）＝，

令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.

因x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去．

当x∈（0,5）时，f′（x）<

0，故f（x）在（0,5）内为减函数；

当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>

0，故f（x）在（5，＋∞）内为增函数．

由此知函数f（x）在x＝5时取得极小值f（5）＝－ln5.

14．设函数f（x）＝（a∈R）．

（1）若f（x）在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若f（x）在[3，＋∞）上为减函数，求a的取值范围．

（1）对f（x）求导得f′（x）＝＝，

因为f（x）在x＝0处取得极值，所以f′（0）＝0，即a＝0.

当a＝0时，f（x）＝，f′（x）＝，

故f

（1）＝，f′

（1）＝，

从而f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y－＝（x－1），化简得3x－ey＝0.

（2）由

（1）知f′（x）＝

令g（x）＝－3x2＋（6－a）x＋a，

由g（x）＝0解得x1＝，x2＝.

当x<

x1时，g（x）<

0，即f′（x）<

0，故f（x）为减函数；

当x1<

x2时，g（x）>

0，即f′（x）>

0，故f（x）为增函数；

当x>

x2时，g（x）<

0，故f（x）为减函数．

由f（x）在[3，＋∞）上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－，故a的取值范围为.

15．（2017·

高考北京卷）已知函数f（x）＝excosx－x.

（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

（1）因为f（x）＝excosx－x，所以f′（x）＝ex（cosx－sinx）－1，f′（0）＝0.

又因为f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.

（2）设h（x）＝ex（cosx－sinx）－1，则h′（x）＝ex（cosx－sinx－sinx－cosx）＝－2exsinx.

当x∈时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间上单调递减．

所以对任意x∈有h（x）＜h（0）＝0，即f′（x）＜0.所以函数f（x）在区间上单调递减．

因此f（x）在区间上的最大值为f（0）＝1，最小值为f＝－.

B组——高考能力提速练

1．函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）

A．a>

0，b<

0，c>

0，d>

0B．a>

0，c<

C．a<

0D．a>

0，b>

0，d<

∵函数f（x）的图象在y轴上的截距为正值，∴d>

0.∵f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，且函数

f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d在（－∞，x1）上单调递增，（x1，x2）上单调递减，（x2，＋∞）上单调递增，

∴f′（x）<

0的解集为（x1，x2），∴a>

0，又x1，x2均为正数，∴>

0，－>

0，可得c>

0.

2．设函数f（x）＝x－2sinx是区间上的减函数，则实数t的取值范围是（　　）

A.（k∈Z）B.（k∈Z）

C.（k∈Z）D.（k∈Z）

由题意得f′（x）＝1－2cosx≤0，即cosx≥，解得2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z），∵f（x）＝x－2sinx是区间上的减函数，∴⊆，∴2kπ－≤t≤2kπ－（k∈Z），故选A.

3．（2017·

重庆模拟）若直线y＝ax是曲线y＝2lnx＋1的一条切线，则实数a＝（　　）

A．e－B．2e－

C．eD．2e

依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2lnx＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，于是有解得x0＝，a＝＝2e－，选B.

4．已知函数f（x）＝x3＋3x2－9x＋1，若f（x）在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为（　　）

A．[－3，＋∞）B．（－3，＋∞）

C．（－∞，－3）D．（－∞，－3]

由题意知f′（x）＝3x2＋6x－9，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x

（－∞，－3）

－3

（－3,1）

1

（1，＋∞）

f′（x）

＋

－

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

又f（－3）＝28，f

（1）＝－4，f

（2）＝3，f（x）在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.

5．对∀x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）>

f（x），且a>

0，则以下说法正确的是（　　）

A．f（a）>

ea·

f（0）B．f（a）<

f（0）

C．f（a）>

f（0）D．f（a）<

设g（x）＝，则g′（x）＝>

0，故g（x）＝为R上的单调递增函数，因此g（a）>

g（0），

即>

＝f（0），所以f（a）>

f（0），选A.

6．若函数f（x）＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）

A．