第三板块 稳心态分步解.docx

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第三板块稳心态分步解

高考第20题圆锥曲线

题型一　定值问题——巧妙消参

定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决.

[典例]　（2017·全国卷Ⅲ）（本题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0,1），当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？

说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

[障碍提醒]

1．想不到设出A（x1,0），B（x2,0）坐标后，利用

根与系数关系求x1，x2的值．

[解]　

（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A（x1,0），B（x2,0），

则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，2分

又C的坐标为（0,1），

故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，

所以不能出现AC⊥BC的情况.4分

（2）证明：

由

（1）知BC的中点坐标为，

[思路提示]

第

（1）问设出点A，B的坐标后求解kAC·kBC的值可作出判断；

第

（2）问充分利用圆心为BC，AB的中垂线的交点，表示出圆心坐标、半径可证明．

2．不会求解BC，

AB的中垂线方程，

导致圆心坐标计算

不出来．

可得BC的中垂线方程为y－＝x2.5分

由

（1）可得x1＋x2＝－m，

所以AB的中垂线方程为x＝－.6分

　[解题关键点]

利用根与系数的关系表示是关键.

3．不清楚如何确定圆心坐标，导致弦长表示不出来．

抓住圆中两弦的中垂线交点即为圆心是根本.

4．联立BC，AB的中垂线方程时，不会把x＋mx2－2＝0的计算变形导致求解失误．

可得8分

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，

半径r＝.10分

故圆在y轴上截得的弦长为11分

即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.12分

定值问题基本思想：

求解目标与选用的变量无关.

题型二　定点问题——确定方程

证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点；如果直线系是使用双参数表达的，要根据其它已知条件建立两个参数之间的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程.

[典例]　（2017·安庆二模）（本题满分12分）已知定圆A：

（x＋）2＋y2＝16，动圆M过点B（，0），且和圆A相切．

（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程．

（2）设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，点N（4,0）．若P，Q，N三点不共线，且∠ONP＝∠ONQ.求证：

动直线PQ经过定点．

[思路提示]

第

（1）问根据圆与圆的位置关系与两圆的圆心距之间的关系、椭圆的定义可得圆心M的轨迹是椭圆，求出a，b即得椭圆的方程；

第

（2）问设l：

y＝kx＋b，画出草图可知在∠ONP＝∠ONQ的情况下，NP，NQ的斜率互为相反数，依次建立k，b的关系，即可根据直线系过定点的条件得出其所求的定点．

[障碍提醒]

1．不知道利用动圆与定圆相切，结合椭圆定义求轨迹方程．

[解]　

（1）圆A的圆心为A（－，0），半径r1＝4.　1分

设动圆M的半径为r2，依题意有r2＝|MB|.

由|AB|＝2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于

圆A，故|MA|＝r1－r2，即|MA|＋|MB|＝4>2，2分

所以动点M的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的

椭圆，其方程为＋y2＝1.4分

（2）证明：

设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），5分

联立方程组消去y，

得（1＋4k2）x2＋8kbx＋4b2－4＝0，6分

Δ＝16（4k2－b2＋1）.7分

设P（x1，kx1＋b），Q（x2，kx2＋b），

8分

于是kPN＋kQN＝＋

＝.9分

由∠ONP＝∠ONQ，知kPN＋kQN＝0，

即2kx1x2－（4k－b）（x1＋x2）－8b

＝2k·－（4k－b）－8b

＝＋－8b＝0，

得b＝－k，11分

Δ＝16（3k2＋1）>0.

故动直线l的方程为y＝kx－k，过定点（1,0）.12分

[解题关键点]

定义法求轨迹方程.

2．不会将∠ONP＝∠ONQ这一几何条件转化为代数条件进行坐标化处理．

解析几何解题关键之一是把几何条件转化为代数条件.

3．利用坐标法转化∠ONP＝∠ONQ这一几何条件后，不知变形目标是什么，盲目求解而滞做．

动直线过定点的一般方法是将y＝kx＋m的两参消去一个后，利用直线系的思想可得定点.

题型三　求最值、解范围问题——构造函数

（一）构造函数求最值

最值问题的基本解法有几何法和代数法：

几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等）；代数法是建立求解目标关于某个（或两个）变量的函数，通过求解函数的最值（普通方法、基本不等式方法、导数方法等）解决的.

[典例]　（2016·山东高考）（本题满分12分）如图，已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2.

（1）求椭圆C的方程．

（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.

①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；

②求直线AB的斜率的最小值．

[障碍提醒]

1．不会用坐标设而不求法表示出k，k′，从而得不出定值．

[解]　

（1）设椭圆的半焦距为c.

由题意知2a＝4,2c＝2，

所以a＝2，c＝，b＝＝.2分

所以椭圆C的方程为＋＝1.4分

（2）①证明：

设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．

由M（0，m），可得P（x0,2m），Q（x0，－2m）．

所以直线PM的斜率k＝＝，直线QM的斜率

k′＝＝－.6分

此时＝－3，所以为定值－3.7分

②设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx＋m，

[思路提示]

第

（1）问待定系数法求解．

第

（2）问①设点P（x0，y0），M为PN的中点，可得y0＝2m，根据对称性得出点Q的坐标，只需证明与x0，m无关；

②设PA的方程，结合①的结论，得QB的方程，联立直线与椭圆方程得A，B坐标，再由斜率公式表示AB的斜率，并求最小值．

2．由直线PA的方程与＋＝1联立表示出A（x1，y1）坐标后，没有类比意识，直接将x1，y1中k换为－3k化简可得B（x2，y2）坐标，导致因运算复杂而滞做或做错．

则直线QB的方程为y＝－3kx＋m.联立整理得（2k2＋1）x2＋4mkx＋2m2－4＝0.

由x0x1＝，可得8分

所以y1＝kx1＋m＝＋m.

同理x2＝，y2＝＋m.9分

[解题关键点]

已知直线与椭圆的一个交点的坐标，使用根与系数的关系得另一交点的坐标.

3．化简x2－x1，y2－y1失误，不能把kAB表示为k的函数而滞做．

所以x2－x1＝－

＝，

y2－y1＝＋m－－m

＝，10分

结构相同的方程组，当得出一个方程组的解时，使用代换法直接得出另一个方程组的解.

4．求AB斜率的最小值不明确，不会将斜率表示为一个变量的函数，从而无法求最值．

所以kAB＝＝＝

由m＞0，x0＞0，可知k＞0，

所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得.11分

此时＝，即m＝，符合题意．

所以直线AB的斜率的最小值为.12分

最值问题的关键：

使用变量表达求解目标．

（二）构造函数解范围

产生范围有如下几个因素：

直线与曲线相交、曲线上点的坐标的范围、题目中要求的限制条件，这些产生范围的因素可能同时出现在一个问题中，在解题时要注意全面把握范围的产生原因.

[典例]　（2016·浙江高考）（本题满分12分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

（1）求p的值；

（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

[障碍提醒]

1．因忘记抛物线定义，不会转化条件导出，求不出p值．

[解]　

（1）由题意可得，

抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的

距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.3分

（2）由

（1）得，抛物线方程为y2＝4x，F（1,0），

可设A（t2，2t），t≠0，t≠±1.4分

因为AF不垂直于y轴，

[思路提示]

第

（1）问由抛物线定义即得；

第

（2）问设A（t2,2t），可以根据抛物线焦点弦两端点坐标之间的关系，用t表达点B的坐标，得出BN，FN的方程，进而得出点N的坐标，结合点A，M，N三点共线，即可使用t表达M的横坐标，确定取值范围．

2．不会设出抛物线的动点坐标用一个参数表示，从而使运算复杂而滞做．

可设直线AF的方程为x＝sy＋1（s≠0），5分

由消去x得y2－4sy－4＝0，

故y1y2＝－4，

6分

又直线AB的斜率为，

故直线FN的斜率为－，

[解题关键点]

点参数法：

抛物线中可以以一个点的横坐标或者纵坐标表达曲线上点.

3．不会挖掘题目中隐含条件A，M，N三点共线来建立等量关系，从而无法表示出M的横坐标的函数关系式，导致无从下手．

从而得直线FN的方程为y＝－（x－1），7分

直线BN的方程为y＝－，

所以N.8分

设M（m,0），由A，M，N三点共线得

＝，9分

4．将m表示为t的函数结构后，不会用分离常数法分离常数，然后再用单调性求的范围而滞做．

于是m＝＝

10分

所以m＜0或m＞2.

经检验，m＜0或m＞2满足题意.11分

综上，点M的横坐标的取值范围是（－∞，0）∪（2，＋∞）．　12分

求解范围问题的关键：

建立求解目标的不等式、函数关系，解不等式或研究函数性质.

题型四　探索性问题——肯定结论

1.探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.

（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论.

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.

2.探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤为：

（1）假设满足条件的曲线（或直线、点等）存在，用待定系数法设出；

（2）列出关于待定系数的方程（组）；

（3）若方程（组）有实数解，则曲线（或直线、点等）存在，否则不存在.

[典例]　（2018届高三·湘中名校联考）（本题满分12分）如图，曲线C由上半椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：

y＝－x2＋1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.

（1）求a，b的值；

（2）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

[思路提示]

第

（1）问在C2的方程中，令y＝0可得b，再由＝，a2－c2＝b2可得a；

第

（2）问设出过点B的直线l的方程，分别与曲线C1，C2联立．用直线l的斜率k表示出点P，Q的坐标后，要使以PQ为直径的圆过点A，则有·＝0，从而解得k，求出直线l的方程．

[解]　

（1）在C2的方