秋季新版新人教版八年级数学上学期122三角形全等的判定同步练习13文档格式.docx
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∠B=∠B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,
(4)①简称:
角角边.
AAS.
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
∠B=∠B1,∠A=∠A1,BC=B1C1,
(5)①简称:
斜边、直角边.
HL.
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中,
∵AC=A1C1,BC=B1C1,
∴Rt△ABC≌Rt△A1B1C1.
2.三角形作图
(1)利用基本作图作三角形
①已知三边作三角形;
②已知两边及其夹角作三角形;
③已知两角及夹边作三角形;
④已知一直角边及斜边作三角形.
(2)三角形作图的依据
根据三角形全等的条件.
(3)三角形作图的主要步骤
①已知:
将条件具体写下来,并画出已知的图.
②求作:
要写出求作什么样的三角形,这个三角形符合什么要求.
③分析:
寻找作图方法的途径,只在演算纸上写.
④作法:
根据分析所得的作图方法,用尺规作出正式图形,并写出每一步的过程,并在图中保留基本作图痕迹.
3.三角形的特征
三角形具有的稳定性是其最大特点.
重点知识讲解
1.判定两个三角形全等的常用思路
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
2.判定两个三角形全等要注意的问题
(1)寻找三角形全等的三个条件时,要注意“对应”二字.
如图,在△ABC与△DEF中,虽然AB=DE,∠C=∠D,∠B=∠F.
但由于AB与DE不是对应边,所以△ABC与△DEF不全等.
(2)寻找三角形全等的三个条件时,至少得寻找到一组对应边相等.
(3)注意隐含条件的运用,如公共边、公共角、对顶角、直角等.
易混知识辩析
边角边与边边角
(1)边角边是指两边和它们的夹角对应相等,边边角是指两边和其中一边的对角对应相等.
(2)前者可用来作为三角形全等的判定条件,而后者却不能,举例如下:
如图,在△ABC与△ABD中,
AB=AB,AD=AC,∠B=∠B,
但△ABC与△ABD不全等.
经验与方法技巧
1.利用三角形全等判断线段(或角)相等的一般方法
(1)把要判断的线段(或角)作为三角形的边(或内角)的两个三角形找出来.
(2)证明这两个三角形全等.
(3)根据全等三角形的性质得出要判断的线段(或角)相等.
2.三角形作图小结
已知
条件
已知线段a,b,c,求作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
作法:
(1)作线段AB=c;
(2)分别以A,B为圆心,以b,a为半径画弧,两弧交于C点;
(3)连结AC,BC,则△ABC即为求作的三角形.
图形:
作图依据:
边边边
(SSS)
已知线段a,b∠α,求作△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=α.
使作法:
(1)作∠DCF=a;
(2)在射线CD,CF上分别截取CB=a,CA=b;
(3)连结AB,则△ABC即为所求作的三角形.
边角边
(SAS)
已知线段,求作△ABC,使BC=a,∠B=α,∠C=β.
(1)作线段BC=a;
(2)以点B为顶点,以BC为一边作角∠DBC=,以点C为顶点,以CB为一边作∠BCF=,设BD与CF交于点A;
(3)连结AB,AC,则△ABC即为所求作的三角形.
角边角
(ASA)
已知线段,求作Rt△ABC,使直角边CB=a,斜边BA=b.
(1)作∠NCM=90°
;
(2)在射线CN上截取CB=a;
(3)以点B为圆心,以b半径画弧,交CM上一点A,连结AB,则△ABC即为所求的三角形.
直角边、斜边(HL)
典型例题
例1如图所示,AD=AB,AF=AG,BF=DG.试判断∠BAG与∠FAD的关系,并说明理由.
解析∠BAG=∠FAD的.
理由:
在△ABF与△ADG中,
∵AB=AD,AF=AG,BF=DG,
∴△ABF≌△ADG(SSS).
∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠3,
即∠BAG=∠FAD.
评注由于∠BAG与∠FAD分别是由∠1与∠3,∠2与∠3组成,且∠3是公共角,所以可以考虑判断∠1=∠2.由条件的三组对应边相等,不难发现∠1与∠2所在的两个三角形全等.
例2已知:
如图所示,AB=CD,AB∥CD,CE=AF,判断△ABE与△CDF是否全等.为什么?
解析△ABE≌△CDF.
∵CE=AF,
∴CE+AC=AF+AC,
即AE=CF.
∵AB∥CD,∴∠1=∠2.
在△ABE和△CDF中,∵AE=CF,∠1=∠2,AB=CD.
∴△ABE≌△CDF(SAS).
评注易发现AE=CF,∠1=∠2,则不难判断△ABE与△CDF的全等关系.
例3已知:
如图所示,AB=AC,BD⊥AC于点D,CF⊥AB于点F,BF=CD吗?
说明理由.
解析BF=CD.
∵BD⊥AC,CF⊥AB,
∴∠ADB=∠AFC=90°
.
在△ABD和△ACF中,
∵∠ADB=∠AFC,∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABD≌△ACF(AAS).
∴AD=AF.又∵AC=AB,
∴AC-AD=AB-AF,
即BF=CD.
评注①当不能直接证明所求证的线段(或角)所在的三角形全等时,常用的思路是利用证相等线段(或角)的和或差所在三角形全等来间接证明.②本题中应该注意隐含条件公共角∠A的应用.
例4已知:
如图所示,线段a,b和m,求作△ABC,使BC=a,AC=b,BC边上的中线AM=m.
作法
(1)以b,,m为边作△ACM.
(2)延长CM至B,使MB=CM.
(3)连结BA.
∴△ABC就是所求作的三角形,如图1所示.
评注如图2所示,在草稿纸上先画一个假想的“效果图”,那么BC=a,AC=b,中线AM=m,而MC=BC=,于是△AMC可以“搞定”,接着以△AMC作为基础可以构建出△ABC.
(1)
(2)
教材例题习题的变形题
例1(P100例3)如图所示,已知点D,E分别在AB,AC上,BE与CD相交于O点,AB=AC,∠B=∠C,图中还有哪些相等的线段?
并说明理由.
解析相等的线段有:
BD=CE,AD=AE,OD=OE,OB=OC.
在△ACD和△ABE中,
∠A=∠A(公共角),AC=AB,∠C=∠B,
∴△ACD≌△ABE(ASA).
∴AD=AE,∴AB-AD=AC-AE,
即BD=CE.
在△BOD和△COE中,
∠B=∠C,∠1=∠2(对顶角相等),BD=CE,
∴△BOD≌△COE(AAS)
∴OB=OE,OB=OC.
评注判定三角形全等时要注意挖掘题中的隐含条件,如本例中的公共角∠A,对顶角∠1与∠2.
例2(P102例4)已知:
如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,且AC=BD,AC,BD相交于O点,OD与OC相等吗?
为什么?
解析OD=OC.
∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ADB和Rt△BCA中,
AB=AB,BD=AC,
∴△ADB≌△BCA(HL),∴AD=BC.
在△AOD和△BOC中,
∠D=∠C,∠1=∠2(对顶角相等),AD=BC.
∴△AOD≌△BOC(AAS),∴OD=OC.
评注在判断OD=OC时,易发现可由△AOD≌△BOC得到,但在这两个三角形中没有相等的对应边,故可由△ADB≌△BCA中寻找到AD=BC.
例3(P105习题11)如图,点B,F,C,E在一条直线上,BF=CE,AB=DE,AC=DF,判断AB与DE,AC与DF的位置关系.
解析AB∥DE,AC∥DF.
∵BF=CE,
∴BF+CF=CE+CF,即BC=EF,
∴在△ABC与△DEF中,
AB=DE,BC=EF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠ACB=∠DFE,∠B=∠E,
∴AC∥DF,AB∥DE.
评注不难发现从角的角度来判断两直线平行较为方便,而所需的角恰好在两个三角形中,故由三角形全等即可得到所需的条件.
学科内综合题
例1已知:
如图所示,AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF,由以上条件,你能说明BE平行且等于DF吗?
解析在△ABC和△CDA中,AB=CD,BC=AD,AC=AC(公共边),
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴∠1=∠2.
在△ABE≌△CDF中,
AE=CF,∠1=∠2,AB=CD,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE=DF,∠3=∠4.
又∵∠3+∠5=180°
,∠4+∠6=180°
,
∴∠5=∠6,∴BE∥DF,∴BEDF.
评注本题综合利用了全等三角形的判定条件及其性质、平行线的判定条件,由于BE和DF分别在△ABE和△CDF中,所以可考虑证△ABE≌△CDF.
例2如图,已知△ABC和△ADE,DE分别交BC,AC于点M,N,∠1=∠2=∠3,AC=AE,试判断BC与DE的数量关系,并说明理由.
解析BC=DE.
∵∠1=∠3(已知),
∴∠1+∠DAC=∠3+∠DAC(等式的性质),即∠BAC=∠DAE.
在△ANE和△MNC中,
∴∠E=180°
-∠3-∠ANE,
∠C=180°
-∠2-∠MNC(三角形内角和为180°
).
又∵∠2=∠3(已知),
∠ANE=∠MNC(对顶角相等),
∴∠E=∠C(等量代换),
在△ABC与△ADE中,
∠BAC=∠DAE(已证),
AC=AE(已知),∠C=∠E(已证),
∴△ABC≌△ADE(ASA).
∴BC=DE(全等三角形对应边相等).
评注在证明三角形全等时,要灵活运用已知条件,将它们转化为所需条件,为证明三角形全等作准备.如本题中,将∠1=∠3转成∠BAC=∠DAE;
将∠2=∠3,利用三角形内角和及对顶角相等转化成∠C=∠E.
例3如图所示,在△ABC和△A′B′C′中,若CD,C′D′分别是高,并且AC=A′C′,CD=C′D′,∠ACB=∠A′C′B′,那么