全国中考数学真题专项强化练习卷含答案 2Word下载.docx

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（2）结论：

AF＝EF+CF．

证明：

如图，作∠FCG＝60°

交AD于点G，连接BF．

∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，

∴∠ABC＝∠AFC＝60°

∴△FCG是等边三角形，

∴GF＝FC，

∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AC，∠ACB＝60°

∴∠ACG＝∠BCF＝α，

在△ACG和△BCF中，

∴△ACG≌△BCF（SAS）．

∴AG＝BF，

∵点B关于射线AD的对称点为E，

∴BF＝EF，

∴AF﹣AG＝GF，

∴AF＝EF+CF．

2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，∠CAB＝30°

，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E．

（Ⅰ）如图1，当点E恰好在AB上时，求∠BDE的大小；

（Ⅱ）如图2，若α＝60°

，点F是AB中点，求证：

四边形CEDF是平行四边形．

（1）解：

如图1，△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△ADE，点E恰好在AB上，

∴AB＝AD，∠EAD＝∠CAB＝30°

，∠DEA＝∠BCA＝90°

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝（180°

﹣30°

）＝75°

∴∠BDE＝90°

﹣75°

＝15°

；

（2）证明：

如图2，

∵点F是边AB中点，

∴CF＝BA，

∵∠BAC＝30°

∴BC＝BA，

∴CF＝BC，

∵△ABC绕点C顺时针旋转60°

得到△ADE，

∴∠CAE＝∠BAD＝60°

，AC＝AE，DE＝BC，

∴DE＝CF，△BAD和△CAE为等边三角形，

∴CE＝CA，

∵点F为△BA的边AB的中点，

∴DF⊥AB，

∴△AFD≌△BCA（AAS），

∴DF＝CA，

∴DF＝CE，

而CF＝DE，

∴四边形CEDF是平行四边形．

3．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°

，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°

后得到△CBQ．

（1）求∠PCQ的度数；

（2）当AB＝4，AP＝时，求PQ的大小；

（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：

2PB2＝PA2+PC2

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠ACB＝45°

∵△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°

∴△ABP≌△CBQ，

∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°

∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝45°

+45°

＝90°

（2）在等腰直角三角形ABC中，

∵AB＝4，

∴AC＝4，

∵AP＝，

∴PC＝AC﹣AP＝4﹣＝3，

由

（1）知，△ABP≌△CBQ，

∴CQ＝AP＝，

由

（1）知，∠PCQ＝90°

根据勾股定理得，PQ＝＝＝2；

（3）证明：

∴∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ

∴∠CBQ+∠PBC＝∠ABP+∠PBC＝90°

∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，

∴PQ＝PB，

∵AP＝CQ，

在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝PC2+CQ2＝PA2+PC2

∴2PB2＝PA2+PC2．

4．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°

，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．

（1）请求出旋转角的度数；

（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；

（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．

（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE

∴△BCD'

≌△ACE

∴AC＝BC，

又∵∠ABC＝45°

∴∠ABC＝∠BAC＝45°

∴∠ACB＝90°

故旋转角的度数为90°

（2）AE⊥BD．

理由如下：

在Rt△BCM中，∠BCM＝90°

∴∠MBC+∠BMC＝90°

∵△BCD'

∴∠DBC＝∠EAC

即∠MBC＝∠NAM

又∵∠BMC＝∠AMN

∴∠AMN+∠CAE＝90°

∴∠AND＝90°

∴AE⊥BD

（3）如图，连接DE，

由旋转图形的性质可知

CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°

∴∠EDC＝∠CED＝45°

∵CD＝3，

∴CE＝3

在Rt△DCE中，∠DCE＝90°

∴DE＝＝＝3

∵∠ADC＝45°

∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°

在Rt△ADE中，∠ADE＝90°

∴EA＝＝＝

∴BD＝

5．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：

（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；

（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．

（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（5，﹣1）．

6．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝，PC＝，将△BPC绕点B逆时针旋转90°

．

（1）画出旋转后的图形；

（2）求点C和点P′的距离．

（1）如图所示，△ABP'

即为所求；

（2）由旋转可得△BCP≌△BAP'

∴AP'

＝CP＝，BP'

＝BP＝，∠ABP'

＝∠CBP，

∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝90°

∴∠PBP'

＝∠ABP+∠ABP'

∴Rt△PBP'

中，PP'

＝＝2，∠BP'

P＝∠BPP'

＝45°

2+PP'

2＝5+20＝25，

又∵AP2＝25，

2＝AP2，

∴△APP'

是直角三角形，且∠AP'

P＝90°

∴∠AP'

B＝135°

∴∠BPC＝135°

∴∠CPP'

＝135°

＝180°

，即P'

，P，C三点共线，

∴CP'

＝PP'

+CP＝2+＝3，

即点C和点P′的距离为3．

7．如图①，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．

（1）探究BG与DE之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时，线段BG和ED有何关系？

写出结论并证明．

（1）BG＝DE，理由如下：

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°

∴∠BCG＝∠DCE，

在△BCG和△DCE中，，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE；

（2）BG＝DE，且BG⊥DE，理由如下：

设BG交CD于H，BG交DE于P，如图②所示：

∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，

又∵∠CBG+∠BHC＝90°

∴∠CDE+∠DHG＝90°

∴∠DPH＝90°

∴BG⊥DE．

8．已知AC＝BC，AC⊥BC，直线MN经过点A．

（1）作BD⊥MN，垂足为D，连结CD，在图①中补全图形，猜想∠ADC的度数并证明；

（2）在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°

，时，直接写出DC的长．

（1）补全图形，如图①所示：

猜想∠ADC＝45°

，理由如下：

连接AB，

∵AC⊥BC，AC＝BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°

∵BD⊥MN，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°

∴A、B、C、D四点共圆，

∴∠ADC＝∠ABC＝45°

（2）当点B在直线MN的右侧时，如图②所示：

连接AB，过点D作DE⊥AC于E，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠BAD＝∠BCD＝30°

∵BD⊥MN，BD＝，

∴AB＝2，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC＝AB＝2，

AD＝＝＝，

∵DE⊥AC，

∴BC∥DE，

∴∠CDE＝∠BCD＝30°

∴DC＝2CE，

设CE＝x，则AE＝AC+CE＝2+x，CD＝2x，

DE＝＝＝x，

在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2，即（2+x）2+（x）2＝（）2，

解得：

x＝或x＝（不合题意舍去），

∴DC＝2CE＝2x＝﹣1；

当点B在直线MN的左侧时，

连接AB，过点D作DE⊥AC于E，如图③所示：

同理可得：

DC＝+1；

综上所述，DC的长为+1或﹣1．

9．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．

（1）求证：

AP＝BQ；

（2）当PQ⊥BQ时，求AP的长．

（1）证明：

如图1中，

∵CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°

∴∠ACP＝∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ，

∴PA＝BQ．

（2）解：

如图2中，作CH⊥PQ于H．

∵PQ⊥BQ，

∴∠PQB＝90°

∵∠CQP＝∠CPQ＝45°

∴∠CQB＝135°

∵△ACP≌△CBQ，

∴∠APC＝∠CQB＝135°

∴∠APC+∠CPQ＝180°

∴A、P、Q共线，

∵PC＝2，

∴CH＝PH＝，

在Rt△ACH中，AH＝＝＝，

∴PA＝AH﹣PH＝﹣．

10．如图，已知：

△ABC及点D，请按下列要求画图（不要求写出画法）．

（1）如果△DEF是将△ABC平移后得到的图形，且点A与点D是对应点，请在图1中画出△DEF；

（2）如果△A1B1C1与△ABC关于点D成中心对称，请在图2中画出△A1B1C1；

（3）如果△DEF与△ABC成轴对称，请在图3中画出对称轴与△DEF．

（1）如图1中，△DEF即为所求．

（2）如图2中，△A1B1C1即为所求．

（3）如图3中，△DEF即为所求．

11．等腰直角三角形是常见的一种图形，在研究中，不难发现如下结论：

①等腰直角三角形的内角度数分别是45°

，45°

，90°

②等腰直角三角形斜边长度是直角边长度的倍．根据以上结论，解决下列问题：

已知，如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°

，点D在直角边AB上，连接CD，将△BCD沿BC翻折到△BCE的位置，过点E作EF⊥CD于点F，延长EF交AC于点G．

（1）若∠BCD＝25°

，则∠CGE＝　70°

　；

（2）若∠BCD＝α，求证：

EC＝EG；

（3）探究AG与DE之间的数量关系，并证明．

（1）∵等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°