变几何问题延拓和移动边界技术邻文档格式.docx
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该技术对于之前模拟该问题采用的移动弱项方法有所改进。
1.引言
1.1几何连续性
我们已经有了一些参数连续性的例子——通过参数在一定范围内一系列的较小变化，以相邻参数值的解作为新参数求解初值。
只要参数不通过歧点且参数步长足够小，即可保证从旧解到新解的平滑过渡。
即使存在歧点，旧的分支仍然是一个可行解，参见我们在第5章中对贝纳尔对流问题的讨论。
几何连续性与参数连续性在一个重要方面存在性质上面的不同。
在几何连续性中，区域几何结构的改变使得需要对网格重新划分。
我们应该小心的区分几何连续性的改变。
例如：
在管流中，众所周知流动可由雷诺数表征：
（1）
该无量纲数包含了流体密度ρ，入口速度U，直径D，和粘度μ，可用于描述流体的动力相似性。
因此，管道直径改变引起充分发展流并不属于几何连续性的范围，而更接近于常规的参数改变问题。
与上一章类似，模拟的例子给出了稳态和瞬态的模型，本章我们将给出稳态几何连续性与瞬态几何连续性的例子。
对于前者，不同的模型所用的几何结构不同，因此网格会略有不同。
因此，一个参数到下一个参数的解是不兼容的（不同的网格自由度）。
如果旧的解作为新几何结构的初始值，则需要将旧的解在保持一致性的情况下映射到新的区域。
在这里的例子中，稳态模型PDE方程组是线性的，因此解可以直接由1FEM步获得。
因此，将旧的解映射到新几何结构没有附加值。
对于瞬态问题，随着移动的前缘，涉及到区域减小的问题。
该区域在每一时间步后均发生改变，因此将上一时间步的解映射到新的区域是必要的。
这导致在每一时间步后必须重新划分网格。
对于自由边界问题这是关键的一步。
例如膜流动和喷气流，边界的位置和速度场的解密切相关，边界应位于能够满足压力平衡的位置。
二维不可压、层流纳维-斯托克斯方程能以一系列标准方法求解（有限差分，有限元，谱元，格子-波尔兹曼以及多重网格技术），对于固体边界条件以及复杂几何形状已能够由商用标准模拟引擎进行计算。
标准计算流体动力学包有两个标准引擎：
（1）能够满足复杂几何形状的网格生成器，
（2）能够求解包含压力项（如纳维-斯托克斯方程中对于连续性方程的拉格朗日乘子）通用传递方程组的偏微分方程求解器。
这两步通常分别进行，先生成网格，后进行求解，FMELAB软件在这方面并无不同。
1.2自由边界问题和任意拉格朗日-欧拉变换
计算流体动力学对于自由边界问题处理的并非很好。
可以考虑耦合流动解和网格生成的迭代算法，但是自动化的标准计算包很难实现。
Ruschak[1]描述了使用网格自适应方法实现压力边界条件的标准方法。
Goodwin和Schowalter[2]成功应用于对毛细管粘度喷射的处理之中对网格位置与流体方程和边界条件的同时求解，采用有限元方法对模型方程进行离散并采用牛顿迭代法求解。
FIDAP，通常用于处理自由边界流体，使用迭代流体求解/椭圆网格重生成方法，而不是同时牛顿迭代。
在缩小了的区域中的瞬态模型，我们采用坐标变换和平滑界面的方法以改变整个时间域上的几何域及两个移动边界条件。
通常对于考虑多相流的模拟，由于平滑界面模型允许拓扑结构的改变，因此对于移动边界模型较为适用。
本书第8章以水平集合方法求解液滴结合的问题。
原则上，COMSOLMultiphysics软件也能够采用ALE模式（任意拉格朗日-欧拉变换）求解后者问题。
ALE模式可通过COMSOLMultiphysics中集成的方程来实现，随着移动网格位置剩余而增加。
在所有的应用模式下，包含这些附加项的标准化方法均为“激活”网格。
例如，允许给定自由边界是对上一版本FEMLAB的改进，但涉及到自由边界计算的问题较少，只有少数如考虑到表面张力引起的流动等问题。
实际上，对FEMLAB软件包的这一改动并非主要针对这个问题。
考虑机械动作（压气机与透平）与传递现象联系的需要是这个改动的一个目的，另一个目的是为了考虑结构力学与传递现象的联系。
我本希望用一个简单的模型来说明ALE移动边界条件耦合的方法，但这里建议读者阅读COMSOLMultiphysics模型库中蠕动泵和挑梁模型。
2.稳态几何连续性：
孔板引起的流道压降
在本节中，我们将考虑两个需要考虑几何连续性的模型，分别是孔板和粘性流管道中的片状物。
这两个模型是相互联系的，事实上仅存在微小差别。
图1为孔板几何结构，我们可估计当板阻塞率为ε时，保持恒定体积流率所需的额外压降。
图中绘制了当板阻塞率为40%时所生成的典型网格。
由于有必要分辨孔板周围的微小特征，孔板周围的网格必须保持足够致密，网格加密成为一个重要问题。
我们将从几何参数改变来外推所需的附加压降，而不是直接求解高阻塞率问题。
图1.粘性流管道中孔板问题生成的网格。
用于表示阻塞百分数的参数为ε＝0.4
尽管有可能考虑孔板周围任意雷诺数的计算，层流的主要影响与人为消去的雷诺数-斯托克斯方程相似。
该现象的根由在于大多数的耗散发生在孔板缝隙之间，在该位置，流体加速，然而小的缝隙导致了较强的粘性摩擦，可近似根据斯托克斯方程模拟动量传递：
（2）
其中，μ为流体粘度，ρ为密度，所有的均代表它们在流体力学中的常用意义。
方程
（2）有量纲，准稳态，无惯性项。
由于该方程是线性的，对此方程有过详尽的分析。
H.Ockendon和J.K.Ockendon[3]等人的文章可提供较好参考。
Homsy等[4]提供了一系列很好的对小雷诺数粘流消失可视化分析。
我对孔板问题的注意来自于Dugdale教授，他通过约束孔板自身能量耗散最小获得了锋利孔板附近的解，求解过程中忽略了容器其他边界上的能量耗散。
他的观点是因为孔板非常小，所有的流体强制通过孔板，几乎所有的能量必须通过孔板耗散，对于缝隙长度为a的三维孔板给出量纲分析，能量耗散速率E须满足：
（3）
其中，Q为体积流率，W为功流。
c为未知比例常数，该常数数值由Dugdale根据吸附能极值从理论上进行了计算，也能够通过测量Q和压降从实验上获得。
在二维体系中，通过相似量纲分析可获得单位长度耗散损失和截面面积流率，从而可得：
（4）
Dugdale报道了通过糖浆实验确定常数c范围在3.17至3.30之间，他的理论计算结果为3.30。
Bond[6]给出了孔板问题与管长为2ka的哈根-伯叔叶管流问题的相似性，其中a为孔板半径，压降等值为k＝0.631，表明c=3.21.
我们曾对管道中紧合粒子的拖曳较感兴趣。
对于与（3）（4）相同的理论基础，管道中的颗粒由狭缝宽度决定。
Zimmerman对于薄片[7]（宽边方向的运动）以及球体[8]在圆柱管中的沉积做了相关研究，表明当颗粒半径较大时曳力增大较快（狭缝宽度为a）。
对小颗粒半径（1-a）采用摄动法并将级数展开相加，有可能确定当颗粒接近管壁时问题的奇异性。
通过对薄片宽边方向运动问题的量纲分析，（4）可用于考虑二维或非中心对称狭缝的二阶奇异特性，O（a-2）。
由于缝隙宽度随着与球体中心相对的角度不断发生变化，球体问题不适合采用量纲分析方法。
Bungay和Brenner[9]计算了球体曳力的奇异性阶数为O（a-5/2）。
Harlen[10]采用有限元方法,发现该问题较难收敛，也揭示了解析大尺度范围差分问题在数值上存在的困难。
即使对于线性模型，当小长度尺度决定了流体的动力学特性时，求解仍非常困难。
我猜测较小狭缝宽度下的动力学问题可以通过对较大狭缝宽度问题解的外推来获得。
本章中，我们首先计算阻塞率为ε的孔板存在引起的流道附加压损。
缝隙半径与阻塞率相关a=1-ε.这个问题与颗粒沉积问题在概念上的不同较小。
例如Shail和Norton[11]计算了薄片宽度方向在圆柱流道中的运动，也计算了与之相对应的问题－保持薄片在流道中静止。
这些问题的定量关系由于方程
（2）的线性特性也成线性相关，有望通过一个问题来反映另一个问题。
表1孔板插入流道的二维模型。
文件名orifice05.m
模型导航栏
选择二维空间
选择COMSOLMultiphysics|FluidDynamics|IncompressibleNavier-Stokes（modens）
完成
Draw菜单
定义物体
定义直线，类型：
多段线
坐标x：
00222.052.05550
y：
0110.950.951100
Draw菜单|Coerceto|Solid
以上生成复合结构CO1
Options菜单|
Constants
常数名称：
rho0，表达式：
mu0，表达式：
1
Umean，表达式：
1，完成
Physics菜单|
Boundarysettings
选择边界1，设定进/出口边界条件。
u0=6*Umean*s*（1-s）;
v0=0
选择边界8，设定常规流动/压力边界条件，p=0（默认）
接受其它边界默认无滑移边界条件。
Subdomainsettings
选择子域1
设定ρ=rho0;
η=mu0;
Fx=0;
Fy=0
选择init选项卡，设定u（t0）=Umean,v（t0）=0;
p（t0）=0
Mesh
点击工具栏上三角形按钮生成默认网格
加密网格两次
Solve菜单
求解管理器，选择稳态非线性求解器
Advanced选项卡：
设定变量缩放为空
点击工具栏上求解按钮（＝）
保存为orifice05.m文件
2.1孔板插入2-D流道的模型
表1为流道中孔板问题模型的设置说明。
在绘图模式中，通过矩形相减获得复合几何对象，并设置孔板阻塞率ε。
较繁琐的一个方法是建立多段线并将其转换为可编辑的几何对象。
我们的目的是建立能够自动改变几何体参数的MATLAB脚本，这是因为在COMSOLMultiphysicsGUI中实现自动改变几何体参数是很困难的。
入口边界条件是二维流道中充分发展的哈根－伯庶叶流，Umean为表征入口条件的单参数。
弧长参数s用于表征竖直方向的依从关系。
s在每个边界均可用，取值范围在0到总弧长范围之内。
由于抛物线速度场与边界信号方向无关，因此没有必要考虑信号方向。
用标准网格参数，点击重新划分网格按钮两次，可得到如图1所示网格。
注意输出给出了压力基准，因此我们可以得到相应的压力分布。
输出环境可有多种选择，标记为正常流体/压力，在流道末端重生成哈根-伯庶叶流体的压降。
应用哪一个边界条件是一个模拟方面的问题，涉及到将所模拟问题进行理想化及估算。
在这种情况下，管道上游有一段流体发展段，出口条件为“straightout”，表明出口与入口也类似。
在求解器参数下，“scalingofvaria
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