高中数学必备解题模板之模板十三求空间角文档格式.docx

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解析

题后

反思

本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为

得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

针对训练*举一反三

1．（2020·

安徽省高三二模）如图，在四面体

中，E是线段

的中点，

；

（2）求平面

与平面

所成锐二面角的余弦值.

2．（2020·

梅河口市第五中学高三三模）如图在四棱锥

中底面

为直角梯形，

，侧面

为正三角形且平面

底面

分别为

平面

（2）求

所成角

的正弦值.

3．（2020·

新疆维吾尔自治区高三三模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，梯形

底面ABCD，且

．

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）求直线AF与平面CDE所成角的大小．

4．（2020·

陕西省榆林中学高三三模）如图，在三棱锥

中，底面是边长为4的正三角形，

，点

（1）求证：

（2）在线段

上是否存在点

，使得直线

所成的角的正弦值为

若存在，确定点

的位置；

若不存在，请说明理由.

5．（2020·

四川省新津中学高三二模）如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．

（1）求PD与BC所成角的大小；

（2）求证：

BC⊥平面PAC；

（3）求二面角A-PC-D的大小．

6．（2020·

陕西省安康中学高三三模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=

，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．

四边形ACC1A1为矩形；

（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．

7．（2020·

上海高三二模）如图，在直三棱柱

是等腰直角三角形，

为侧棱

（2）求二面角

的大小（结果用反三角函数值表示）

8．（2020·

湖南省高三三模）在如图的空间几何体中，四边形

，且平面

为棱

中点.

9．（2020·

山东省高三二模）在四边形

如图，将

沿

边折起，连结

，使

，求证：

（1）平面

（2）若

上一点，且

所成角的正弦值为

，求二面角

的大小.

10．（2020·

北京八中高三二模）已知在四棱锥

中，底面

是边长为

的正方形，

是正三角形，CD⊥平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点．

（Ⅰ）求证：

PO⊥平面

（Ⅱ）求平面EFG与平面

所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段

所成角为

，若存在，求线段

的长度；

若不存在，说明理由．

高中数学必备考试技能之套用18个解题模板”原创精品【2020版】

（1）如图，取

的中点为

，取

的中点

，连接

因为

，所以

，故

且

（2）由

（1）可得

所以

为二面角

的平面角，

因为二面角

为直二面角，所以

即

建立如图所示的空间直角坐标系，

则

故

设平面

的法向量为

，则

的平面角为锐角，

故二面角

的余弦值为

【答案】

（1）证明见解析；

（2）

【解析】

（1）取线段

的中点F，连接

、

因为E是线段

的中点，所以

.又

，F是

，而

（2）解法一：

令

那么

又

，故可以以点F为原点，射线

分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

、平面

的法向量分别为

由

，得

故平面

所成锐二面角的余弦值为

解法二：

，由已知及

（1）可得：

均为棱长为a的正三角形.

取

中点G，则

在

由余弦定理可得：

（1）如图所示：

中点

为

中位线，

又因为

所以四边形

为平行四边形，

所以平面

（2）取

因为平面

以

为坐标原点，

轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

设

的一个法向量为

，即

可取

，解得

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

∵梯形

底面ABCD，且梯形

在梯形ADEF中，过F作

，垂足为G，

，可得

，且

平面ABF，

而

平面CDF，

∴平面

平面CDF；

（Ⅱ）解：

以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，

设平面CDE的一个法向量为

设直线AF与平面CDE所成角的大小为

，即直线AF与平面CDE所成角的大小为

（1）见解析

（2）见解析

∵

∴

，∴

（2）解：

如图，由

（1）知，

，又

两两垂直，分别以

方向为

轴建立坐标系.

，设平面

的法向量

，令

由已知

或

（舍去）

故线段

上存在点

此时

（1）60o

（2）见解析．（3）60o

（1）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD="

CD"

所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH

所以∠PDH为PD与BC所成角

因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o，所以⊥DA⊥AB

又因为AB=2DC=2，所以AD=1，因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形

所以PD=DH=PH=

，故∠PDH=60o

（2）连接CH，则四边形ADCH为