完整word版高等数学辅导讲义docWord文件下载.docx
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零点定理
性质
函数的奇偶
极限的唯一
跳跃间断点
唯一性
函数的周期
第二类间断
有界性
局部有界性
保号性
局部保号性
数列极限四
函数极限与数
则运算法则
列极限的关系
极限存在准
函数极限四
则
夹逼准则
两个重要极
限
单调有界准
无穷小的比
较
高阶无穷小
低阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
历年试题分类统计及考点分布
考点
复合函数
极限四则
两个重要
单调有界
无穷小的
合计
运算法则
极限
准则
阶
年份
1987
1988
5
3
8
1989
1990
6
1991
1992
1993
1994
1995
1996
12
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
4
2004
2005
2006
15
2007
2008
2009
2010
2011
10
20
18
37
32
27
本部分常见的题型
1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、求分段函数的复合函数
例1（1988,5
分）设f（x）
ex2
f[（x）]
1x且（x）
求（x）及其定义
域。
解:
由f（x）ex2
知f[
（x）]e
2（x）
1
x,又（x）0,则（x）
ln（1
x）,x0.
例2（1990,3分）设函数f（x）
1,x
则f[f（x）]
0,x
.
1,
练习题:
（1）设
f（x）
g（x）
ex,求f[g（x）]和g[f（x）],
并作出这
两个函数的图形。
（2）
设
0,
求
f（x）
g（x）
x2
x,x
x0,
f[f（x）],g[g（x）],
f[g（x）],g[f（x）].
二、求数列的极限
方法一利用收敛数列的常用性质
一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1（极限的唯一性）如果数列xn收敛,那么它的极限唯一。
性质2（收敛数列的有界性）如果数列xn
收敛,那么数列
xn
一定有界。
性质3（收敛数列的保号性）如果limxn
a,且a
0（或a
）,那么存在
n
n0N
使得当nn0时,都有xn0
（或xn
0）.
性质4（数列极限的四则运算法则）
如果limxn
a,limyn
b,那么
（1）limn
（xnyn）
ab;
（2）limxn?
yn
a?
b;
（3）当yn0（n
N）且b0时,lim
a.
yn
b
例3
若limxna,则limxn
注:
的逆命题是不对的,例如我们取xn
（1）n,
显然limxn
但数列xn
（
1）n没有极限。
例4
如果数列xn收敛,那么数列xn
例4的逆命题是不对的,
例如我们取xn
（1）n,显然数列xn
有界,
例5设an
bn,
cn均为非负数列,且liman
0,limbn1,limcn
下列陈述中哪些是对的,哪些是错的?
如果是对的,
说明理由;
如果
是错的,
试给出一个反例。
（1）
an
bn,n
N;
（2）bn
cn,nN;
（3）
limn
ancn
不存在;
（4）
limbncn不存在.
（1）是错的,
我们可以令an
bn
显然liman
0,limbn
1,
n1
但a1
1,b11,从而a1
b1.
2
（2）是错的,
我们可以令
bn
cn
显然
limbn
1,limcn
但b1
1,c1
1,从而b1
c1.
（3）是错的,我们可以令an
cn
n,
显然liman
0,limcn
但limn
ancnlimn
（n
?
n）
3.
（4）是对的,
由于limn
bn1
0,limn
cn
则limn
bncn
即极
限limbncn不存在。
注1:
极限的保序性是说,“若liman
a,limbn
b,a
b,则存在n0
N
使得当n
n0时有an
bn.”,而不是对任意的nN
有anbn.
注2:
事实上我们可以得到如下一个常用的结论:
若liman
a0,limbn
则limanbn
设数列xn与yn满足limxnyn0,则下列断言正确的是（）
（A）若
（B）若
（C）若
发散,则
无界,则
有界,则
yn必发散.
yn必无界.
yn必为无穷小.
（D）若1
为无穷小,则yn必为无穷小.
方法二利用一些常用的结论
（1）设数列xn
又limyn0,
则limxnyn
0,q
qn
1）,limn
1.
0（q
q
1,q
q
0）.
liman
1（a
例6
lim
1cosn
0.
（1）lim（nn2
1）sinn
_______.
（2）lim（nn
__________.
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