线性方程组迭代法习题课1Word文档下载推荐.docx

线性方程组迭代法习题课1Word文档下载推荐.docx

《线性方程组迭代法习题课1Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组迭代法习题课1Word文档下载推荐.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

因为，得特征值

得，由定理知Jacobi迭代法发散。

对Seidel迭代法，迭代矩阵为

=

显然，其特征值为

故，由定理知Seidel迭代法收敛。

二、设线性方程组，，。

证明：

解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法同时收敛或不收敛。

，故，得

。

，，得

注意到

由定理Jacobi和Seidel迭代法同时收敛或不收敛。

三、对于，若用迭代公式

，k=0，1，2，…

取什么实数范围内的可使迭代收敛？

迭代公式可写成

迭代矩阵为。

易求出A的特征值为1和4，故有B的特征值为和。

所以

要收敛，由定理有

所以是迭代收敛。

取什么值可使收敛最快？

四、设A是n阶非奇异阵，B为n阶奇异阵，试证：

其中，是矩阵的算子范数。

因为Cond（A）=，所以本题不等式的证明可转化为证明

存在显然。

为引入向量证明矩阵范数，考虑矩阵B对应的齐次方程组Bx=0。

因为B是奇异阵，存在非零向量y满足By=0，用左乘得，有

两边取范数有

因为，得而

所以有

证毕。

五、设，A非奇异，对线性方程组

有块Jacobi迭代法

试给出其矩阵迭代格式和块Seidel迭代格式。

Jacobi迭代公式可写成

故有块Jacobi迭代矩阵格式为

块Seidel

六、用列主元与全主元方法解方程组

1、列主元法进行计算过程：

回代得到解：

2、使用全主元法过程：

七、设是对称正定矩阵，经过高斯消元法一步后，约化为，其中，证明：

（1）A的对角元素（i=1,2,…，n）；

（2）是对称正定矩阵

（1）因A对称正定，故

其中为第个单位向量

（2）由A的对称性及消元公式得

故也对称

又，其中

显然非奇异，从而对任意的，有

由A的正定性，有正定。

又，而0，故正定。

八、给定线性方程组

其中且系数矩阵是非奇异的。

试根据其系数矩阵稀疏性的特点给出一个求解算法。

并指出所给算法的乘除法和加减法的运算次数。

分析：

根据方程组的特点先用消元法将其化为两对角方程组，然后再用回代法求解。

记

第一次消元：

记将第一行乘加到第行，并记

第二次消元：

记将第二行乘加到第行，并记

类似做法直到第次消元：

记将第行乘加到第行，并记

经过以上次消元得同解得两对角方程组为

用回代可以求解。

最后算法为：

（1）

（2）对依次计算

（3）

（4）

（II）乘除法（5n-4）加减法3（n-1）