高中数学第二章知识点总结文档格式.docx
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使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:
确定一个平面的依据。
β
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P∈α∩β=>
α∩β=L,且P∈L
公理3作用:
判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:
同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:
同一平面内,没有公共点;
异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
设a、b、c是三条直线
=>
a∥c
a∥b
c∥b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4注意点:
①a'
与b'
所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>
a∥α
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
线面平行则线线平行。
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理:
如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义:
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法:
二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此,倾斜角的取值范围是0°
≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:
倾斜角不是90°
的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即
。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时,α=0°
k=tan0°
=0;
当直线l与x轴垂直时,α=90°
k不存在.
当
时,
;
当
不存在。
②过两点的直线的斜率公式:
(P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)
注意下面四点:
(1)当
时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点斜式:
直线斜率k,且过点
注意:
当直线的斜率为0°
时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°
时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:
,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式:
(
)直线两点
,
④截矩式:
其中直线
与
轴交于点
与
即
轴、
轴的截距分别为
⑤一般式:
(A,B不全为0)
各式的适用范围特殊的方程如:
平行于x轴的直线:
(b为常数);
平行于y轴的直线:
(a为常数);
(6)两直线平行与垂直
利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组
的一组解。
方程组无解
方程组有无数解
重合
(8)两点间距离公式:
设
是平面直角坐标系中的两个点,
则
(9)点到直线距离公式:
一点
到直线
的距离
(10)两平行直线距离公式
已知两条平行线直线
和
的一般式方程为
:
,则
的距离为
第四章圆与方程
1、圆的定义:
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程
,圆心
,半径为r;
点
与圆
的位置关系:
>
,点在圆外当
,点在圆上
<
,点在圆内
(2)一般方程
时,方程表示圆,此时圆心为
,半径为
时,表示一个点;
时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;
若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线
,圆
到l的距离为
,则有
(2)过圆外一点的切线:
①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:
圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
4、圆与圆的位置关系:
通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
时两圆外离,此时有公切线四条;
时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
时,两圆内含;
时,为同心圆。
已知圆上两点,圆心必在中垂线上;
已知两圆相切,两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
第一章空间几何体题
一、选择题
1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个().
主视图左视图俯视图
(第1题)
A.棱台B.棱锥C.棱柱D.正八面体
2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°
,腰和上底均为
的等腰梯形,那么原平面图形的面积是().
A.2+
B.
C.
D.
3.棱长都是
的三棱锥的表面积为().
A.
B.2
C.3
D.4
4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是().
A.25πB.50πC.125πD.都不对
5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( ).
∶1B.
∶2C.2∶
∶3
6.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°
,若使△ABC绕直线
旋转一周,则所形成的几何体的体积是().
πB.
πC.
πD.
π
7.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是().
A.130B.140C.150D.160
8.如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=
,且EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为().
(第8题)
B.5C.6D.
9.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误的是().
A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D.水平放置的圆的直观图是椭圆
10.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是().
(第10题)
二、填空题
11.一个棱柱至少有______个面,面数最少的一个棱锥有________