概率统计公式大全作业重点Word文档格式.docx
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）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；
同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有
，
，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：
A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：
A
B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者
，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：
B，或者AB。
B=Ø
，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为
。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算：
结合率：
A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C
分配率：
（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）
德摩根率：
（7）概率的公理化定义
设
为样本空间，
为事件，对每一个事件
都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：
1°
0≤P（A）≤1，
2°
P（Ω）=1
3°
对于两两互不相容的事件
，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P（A）为事件
的概率。
（8）古典概型
设任一事件
，它是由
组成的，则有
P（A）=
=
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A，
其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）
（11）减法公式
P（A-B）=P（A）-P（AB）
当B
A时，P（A-B）=P（A）-P（B）
当A=Ω时，P（
）=1-P（B）
（12）条件概率
定义设A、B是两个事件，且P（A）>
0，则称
为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P（Ω/B）=1
P（
/A）=1-P（B/A）
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>
0，则有
…
……
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件
、
满足
，则称事件
是相互独立的。
若事件
相互独立，且
，则有
相互独立，则可得到
与
也都相互独立。
必然事件
和不可能事件Ø
与任何事件都相互独立。
Ø
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P（AB）=P（A）P（B）；
P（BC）=P（B）P（C）；
P（CA）=P（C）P（A）
并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
两两互不相容，
则有
（16）贝叶斯公式
，…，
及
>
0，
1，2，…，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（
），通常叫先验概率。
），通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了
次试验，且满足
◆每次试验只有两种可能结果，
发生或
不发生；
◆
次试验是重复进行的，即
发生的概率每次均一样；
◆每次试验是独立的，即每次试验
发生与否与其他次试验
发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为
重伯努利试验。
用
表示每次试验
发生的概率，则
发生的概率为
，用
表示
重伯努利试验中
出现
次的概率，
第二章随机变量及其分布
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量
的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为
P（X=xk）=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量
的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出：
显然分布律应满足下列条件：
（1）
，
（2）
（2）连续型随机变量的分布密度
是随机变量
的分布函数，若存在非负函数
，对任意实数
，有
则称
为连续型随机变量。
称为
的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：
（3）离散与连续型随机变量的关系
积分元
在连续型随机变量理论中所起的作用与
在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）分布函数
为随机变量，
是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间
分布函数
表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
；
是单调不减的函数，即
时，有
，
4°
，即
是右连续的；
5°
对于离散型随机变量，
对于连续型随机变量，
。
（5）八大分布
0-1分布
P（X=1）=p,P（X=0）=q
二项分布
在
重贝努里试验中，设事件
事件
发生的次数是随机变量，设为
，则
可能取值为
，其中
则称随机变量
服从参数为
的二项分布。
记为
当
时，
，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量
的分布律为
的泊松分布，记为
或者P（
）。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。
均匀分布
的值只落在[a，b]内，其密度函数
在[a，b]上为常数
a≤x≤b
其他，
在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，b）。
分布函数为
a≤x≤b
0，x<
a，
1，x>
b。
当a≤x1<
x2≤b时，X落在区间（
）内的概率为
指数分布
0,
其中
，则称随机变量X服从参数为
的指数分布。
X的分布函数为
x<
0。
记住积分公式：
正态分布
的密度函数为
为常数，则称随机变量
的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为
具有如下性质：
的图形是关于
对称的；
当
为最大值；
若
的分布函数为
dt
e
x
F
t
2
）
（
1
参数
时的正态分布称为标准正态分布，记为
，其密度函数记为
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ（-x）＝1-Φ（x）且Φ（0）＝
如果
~
（6）分位数
下分位表：
上分位表：
（7）函数分布
离散型
已知
的分布列为
的分布列（
互不相等）如下：
若有某些
相等，则应将对应的
相加作为
连续型
先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）＝P（g（X）≤y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。
第三章二维随机变量及其分布
（1）联合分布
如果二维随机向量
（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称
为离散型随机量。
=（X，Y）的所有可能取值为
，且事件{
=
}的概率为pij,,称
为
=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
y1
y2
yj
x1
p11
p12
p1j
x2
p21
p22
p2j
xi
pi1
这里pij具有下面两个性质：
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）
对于二维随机向量
，如果存在非负函数
，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a<
x<
b,c<
y<
d}有
为连续型随机向量；
并称f（x,y）为
=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f（x,y）具有下面两个性质：
（1）f（x,y）≥0;
（2）
（2）二维随机变量的本质
（3）联合分布函数
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
的概率为函数值的一个实值函数。
分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：
（2）F（x,y）分别对x
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