函数项级数的收敛性判断Word格式.docx

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在收敛域内，和函数是

，即有

的前

项和，则当

时，有

称

为该函数项级数的余项和。

显然，

，有

[例4.1]设

，讨论函数项级数

的收敛性，并求其和函数。

[解] 

由于

故当

时，

当

，当

时，它的极限不存在；

，

故知该级数的收敛域为

，在收敛域上，它的和函数为

注：

1）即使每个

都连续，和

也仍然可以是不连续的函数。

2）函数的可微性和可积性可能不再成立。

即函数项级数

（4.1）

（4.2）

都不成立。

若如果式（4.1）成立，则说级数

可以逐项微分；

如果式（4.2）成立，则说

可以逐项计分。

7.4.2函数项级数的一致收敛性

处处收敛的“

”语言，应该是这样的：

，使得当

表明，

不但依赖于

，还依赖于

即对给定的

、

中不同的

，可以有不同的

，对所有的

不一定有通用的自然数

若存在着通用的自然数

使级数收敛，则称级数一致收敛。

[定义4.1]设函数项级数

在

上收敛于和函数

对所有的

都成立，则称该级数在

上一致收敛或一致收敛于

类似地，可以给出函数列

上一致收敛于函数

的定义。

一致收敛性的几何形象，（以序列为例）。

设函数序列

在区间

如果以曲线

为“中心”，作一“宽度”为

的带形区域，则不论正数

如何小，总有一个正整数

，使当

时，曲线

都完全在上述带形区域之内（图4.1）。

再分析例4.1中的级数。

时

故

，若要

，必须

即 

时，由于

，所以当

内找不到通用的

从而所讨论级数在区间

内部不一致收敛，在

上更不可能一致收敛（图4.2）。

但是，对于任何小于

的正数

，所讨论级数在上是一致收敛的，因为这时可以取

证明一个函数项级数在

上不一致收敛的一般方法是：

，使得无论自然数

多么大，总存在

，使得

一致收敛性的判别方法：

[定理4.1]（Cauchy一致收敛准则）函数项级数

上一致收敛的充分必要条件是：

时，对

及任何的自然数

（4.3）

[证明] 

必要性 

设该级数在

上一致收敛于和函数

则

从而有

充分性 

设不等式（4.3）成立，则有数列的Cauchy收敛准则，对于任意固定的

，部分和数列

收敛，即该级数在

上处处收敛，设其极限函数为

在式（4.3）中，令

，便得到：

，即

由定义4.1，级数在

上一致收敛。

[推论]设级数

上一致收敛，则函数列

上一致收敛于零。

[定理4.2]（Weierstrass准则或

判别法）如果存在一个收敛的正项级数

，使得对

则函数项级数

[证明]由于正项级数

收敛，根据数值级数的Cauchy收敛准则，

时，恒有

由已知，

，故

根据定理4.1，该级数在

定理4.2中的级数

称为控制级数或优级数。

[例4.2]判断级数

上的一致收敛性。

[解]因为

，所以 

而正项级数

是收敛的

-级数，故所讨论的函数项级数在区间

上是一致收敛的。

7.4.3和函数的分析性质

[定理4.3]若函数项级数

，且级数的每一项

都在

上连续，则和函数

也连续。

[证明]任意取

，由于

上一致收敛，对任意给定的

，存在自然数

，使得对任意的

（4.4）

由于级数的每一项均在

上连续，部分和

也在

上连续，特别是在

处连续，所以，存在

由式（4.4）和式（4.5），得

这就证明了

处连续的。

由

的任意性可知，

上连续。

[定理4.4] 

若函数序列

，且每一个

都是在

上连续，则

上也连续。

极限函数（级数的和）不连续，常常是判断不一致收敛的简单方法。

如在区间

上连续函数列

收敛于不连续的函数

，所以必然是不一致收敛。

[例4.3]

上不一致收敛。

因为当

时，级数的和为零；

可见，

而

上连续，所以级数

上不能一致收敛。

[定理4.5]若函数项级数

都在区间

上连续，则和函数可积，且可逐项积分，即

（4.6）

由定理4.3知，

上连续，因而可积。

由于

只需证明

（4.7）

注意到级数一致收敛，对

时，对所有的

有 

因而 

这就证明了式（4.7）。

[定理4.6]设

上一致收敛于

上可积，并且可以逐项积分，即

（4.8）

[定理4.7]设级数

上处处收敛于和函数

，如果它的各项

上又连续的导数，并且有导函数

所组成的级数在

上一致收敛，则和函数

上可微。

并且可以逐项微分，即

（4.9）

[证明]设

取

，由式（4.6）得 

但

，这就是说， 

根据定理4.3，

上连续，所以

[定理4.8]若函数序列

上处处收敛于函数

上有连续的导数

，又

上一致收敛，则极限函数

上可微，并且

逐项求导后的级数的一致收敛性，是不能由原级数的一致收敛性代替的。

例如，级数 

因为

，级数

收敛，由

判别法知，级数

在任何区间上都是一致收敛的。

但逐项积分后的级数

因其通项不趋于零，所以级数的收敛域为空集。

因此，原级数不可能逐项微分。

1）求极限、求积分和求导数都可以与求和交换次序。

因为求积分、求导数和求和也是一个极限问题。

2）一致收敛仅是求极限、求积分和求导数能与求和交换次序结论成立的充分条件，而不是必要条件。

[例4.4]设

则每个

都是

上的连续函数。

他的图形是一根折线（图4.3），在

处达到最高点，此时，

容易证明，

上处处收敛于零。

因此，极限函数是

上不一致收敛于零。

为证明这一点，取

，则