届江苏省苏锡常镇四市级高三一调考试数学试题含附加题及解析.docx

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届江苏省苏锡常镇四市级高三一调考试数学试题含附加题及解析

2020届江苏省苏锡常镇四市2017级高三一调考试

数学试题（含附加题）

数学I

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知i为虚数单位,复数

则

＝．

2．已知集合A＝

B＝

若A

B中有且只有一个元素,则实数a的值为．

3．已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是．

4．在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线

（a＞0）的一条渐近线方程为

则a＝．

5．甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

乙获胜的概率是

则乙不输的概率是．

6．右图是一个算法的流程图,则输出的x的值为．

7．“直线l1：

与直线l2：

平行”是“a＝2”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．

8．已知等差数列

的前n项和为

则

＝．

9．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为．

10．已知

（

）,则

＝．

11．如图在矩形ABCD中,E为边AD的中点,AB＝1,BC＝2．分别以A,D为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周,所形成的几何体的体积为．

12．在△ABC中,（

）⊥

（

＞1）,若角A的最大值为

则实数

的值是．

13．若函数

（a＞0且a≠1）在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2]（1＜m＜n）,则a的取值范围是．

14．如图,在△ABC中,AB＝4,D是AB的中点,E在边AC上,AE＝2EC,CD与BE交于点O,若OB＝

OC,则△ABC面积的最大值为．

二、解答题（本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足

．

（1）求A；

（2）已知a＝

B＝

求△ABC的面积．

16．（本小题满分14分）

如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点．

（1）证明：

AP∥平面EBD ；

（2）证明：

BE⊥PC．

17．（本小题满分14分）

某地为改善旅游环境进行景点改造．如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度）,l1和l2所在直线的距离为0.5（百米）,对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M ）,在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1 （百米）,且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．

（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程；

（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时,观测EF的视角（∠EPF）最大？

请在

（1）的坐标系中,写出观测点P的坐标．

18．（本小题满分16分）

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：

（a＞b＞0）的离心率为

．且经过点（1,

）,A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点（其中D在x轴上方）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：

7,求直线l的方程．

19．（本小题满分16分）

已知函数

（m

R）的导函数为

．

（1）若函数

存在极值,求m的取值范围；

（2）设函数

（其中e为自然对数的底数）,对任意m

R,若关于x的不等式

在（0,

）上恒成立,求正整数k的取值集合．

20．（本小题满分16分）

已知数列

数列

满足

n

．

（1）若

求数列

的前2n项和

；

（2）若数列

为等差数列,且对任意n

恒成立．①当数列

为等差数列时,求证：

数列

的公差相等；②数列

能否为等比数列？

若能,请写出所有满足条件的数列

；若不能,请说明理由．

第II卷（附加题,共40分）

21．【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵

且二阶矩阵M满足AMB,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。

B．选修4—4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中,曲线l的参数方程为

以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4sin。

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。

C．选修4—5：

不等式选讲

已知正数x,y,z满足xyzt（t为常数）,且

的最小值为

求实数t的值。

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某商店举行促销反馈活动,顾客购物每满200元,有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次,满400元可以抽奖两次,依次类推）。

抽奖的规则如下：

在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球,顾客每次从口袋中摸出一个小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球编号一次比一次大（如1,2,5）,则获得一等奖,奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5,3,1）,则获得二等奖,奖金20元；其余情况获得三等奖,奖金10元.

（1）某人抽奖一次,求其获奖金额X的概率分布和数学期望;

（2）赵四购物恰好满600元,假设他不放弃每次抽奖机会,求他获得的奖金恰好为60元的概率.

23．（本小题满分10分）

已知抛物线C:

x24py（p为大于2的质数）的焦点为F,过点F且斜率为k（k0）的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.

（1）求点G的轨迹方程；

（2）当点G的横坐标为整数时,S是否为整数？

若是,请求出所有满足条件的S的值；若不是,请说明理由.

2020届江苏省苏锡常镇四市2017级高三一调考试数学试题

数学I

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知i为虚数单位,复数

则

＝．

答案：

解析：

．

2．已知集合A＝

B＝

若A

B中有且只有一个元素,则实数a的值为．

答案：

2

考点：

集合交集运算

解析：

由题意知a﹣1＝1,得a＝2．

3．已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是．

答案：

0.08

解析：

首先求得

．

4．在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线

（a＞0）的一条渐近线方程为

则a＝．

答案：

3

考点：

双曲线的渐近线

解析：

由题意知：

∴a＝3．

5．甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是

乙获胜的概率是

则乙不输的概率是．

答案：

解析：

乙不输包括乙获胜或和棋,故P＝

＋

＝

．

6．右图是一个算法的流程图,则输出的x的值为．

答案：

6

解析：

第一次：

x＝4,y＝16,

第二次：

x＝5,y＝32,

第三次：

x＝6,y＝64,此时64＞10×6＋3,输出x,故输出x的值为6．

7．“直线l1：

与直线l2：

平行”是“a＝2”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．

答案：

必要不充分

考点：

两直线平行,充要性

解析：

“直线l1：

与直线l2：

平行”等价于a＝±2,

故“直线l1：

与直线l2：

平行”是“a＝2”的必要不充分条件．

8．已知等差数列

的前n项和为

则

＝．

答案：

解析：

．

9．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为．

答案：

解析：

＝1时有最小值1,此时M（1,﹣2）,

故切线方程为：

即

．

10．已知

（

）,则

＝．

答案：

考点：

两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,同角三角函数关系式

解析：

∵

∴

则

．

11．如图在矩形ABCD中,E为边AD的中点,AB＝1,BC＝2．分别以A,D为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周,所形成的几何体的体积为．

答案：

考点：

圆柱与球的体积

解析：

．

12．在△ABC中,（

）⊥

（

＞1）,若角A的最大值为

则实数

的值是．

答案：

3

考点：

平面向量数量积

解析：

解得

＝3．

13．若函数

（a＞0且a≠1）在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2]（1＜m＜n）,则a的取值范围是．

答案：

（1,

）

考点：

函数与导数综合

解析：

由题意知：

与

的图像在（1,

）上恰有两个交点

考查临界情形：

与

切于

．

14．如图,在△ABC中,AB＝4,D是AB的中点,E在边AC上,AE＝2EC,CD与BE交于点O,若OB＝

OC,则△ABC面积的最大值为．

答案：

考点：

向量与解三角形、圆的综合

解析：

设

B,O,E共线,则

解得

从而O为CD中点,故

在△BOD中,BD＝2,

易知O的轨迹为阿圆,其半径

故

．

二、解答题（本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足

．

（1）求A；

（2）已知a＝

B＝

求△ABC的面积．

解：

（1）由正弦定理：

得：

B为△ABC内角,故sinB＞0,所以

若

则

与

矛盾,故

因此

又A为△ABC内角,所以

；

（2）由正弦定理得：

故

．

16．（本小题满分14分）

如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点．

（1）证明：

AP∥平面EBD ；

（2）证明：

BE⊥PC．

证明：

（1）连结AC交BD于点O,连结OE

因为四边形ABCD为平行四边形

∴O为AC中点,

又E为PC中点,

故AP∥OE,

又AP

平面EBD,OE

平面EBD

所以AP∥平面EBD ；

（2）∵△PCD为正三角形,E为PC中点

所以PC⊥DE

因为平面PCD⊥平面ABCD,

平面PCD

平面ABCD＝CD,

又BD

平面ABCD,BD⊥CD

∴BD⊥平面PCD

又PC

平面PCD,故PC⊥BD

又BD

DE＝D,BD

平面BDE,DE

平面BDE

故PC⊥平面BDE

又BE

平面BDE,

所以BE⊥PC．

17．（本小题满分14分）

某地为改善旅游环境进行景点改造．如图,将两条平行观光道l1和l2