高三第一轮专题56圆锥曲线的综合问题原卷版汇总Word格式文档下载.docx
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②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.
2
J
F；
k
X2
【变式探究】如图，已知双曲线C:
y=1（a>
0）的右焦点为F,点A,B
a
分别在C的两条渐近线上，AF丄x轴，AB丄OBBF//0A（0为坐标原点）.
（1）求双曲线C的方程;
⑵过C上一点P（XO,yo）（yoM0）的直线I:
上T—yoy=1与直线AF相交于点M,与直线x=7相交于点N.
a2
考点二：
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.
【例2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:
X2+右=1（a>
b>
0）的离心率为挛直线y=x被椭圆C截得的线段长
⑴求椭圆C的方程;
⑵过原点的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且AD丄AB直线BD
与x轴、y轴分别交于MN两点.
①设直线BD,AM的斜率分别为ki,k2,证明存在常数入使得ki=入k2,并求出入的值;
②求△OMN面积的最大值.
圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；
二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值
【变式探究】设点P（x,y）到直线x=2的距离与它到定点（1,0）的距离之比为，并记点P的轨迹为曲线C.
⑴求曲线C的方程;
⑵设M（—2,0），过点M的直线I与曲线C相交于E,F两点，当线段EF的中点落在由四点Ci（—1,0）,
C2（1,0）,B（0，-1）,B2（0,1）构成的四边形内（包括边界）时，求直线I斜率的取值范围.
考点三：
圆锥曲线中的探索性问题
直并分别过不同的焦点？
若存在，求出圆的方程；
若不存在，请说明理由.
（1）探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素（点、
（点、直
直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素线、曲线或参数）存在；
否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.
（2）反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
■_X2
【探究】在平面直角坐标系xOy中，经过点（0,且斜率为k的直线I与椭圆—+y2=1有两个不同■的交点P和Q
（1）求k的取值范围;
⑵设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k，使得向量矗oQf晶垂直?
如果存在，求k值；
如果不存在，请说明理由.
【真题感悟】
22
1.【2015山东】平面直角坐标系xoy中，双曲线G:
笃—古=1（aA0,b>
0）的渐近线与抛物线C2：
x2=2py（p〉0）
交于点O,A,B，若也OAB的垂心为C2的焦点，则
2X2
2.【2015浙江】已知椭圆一+y2=1上两个不同的点
Ci的离心率为
B关于直线y=mx+丄对称.
（1）求实数m的取值范围;
圆相交，且交点在椭圆
（I）求椭圆C的方程;
直线交椭圆E于A,B两点，射线P0
错误！
未找到引用源。
交椭圆E于点Q.（i）求错误！
的值；
（ii）求AABQ面积的最大
4.【2015安徽】设椭圆E的方程为笃+冷=1（aAb>
0），点0为坐标.原点，点A的坐标为（a,0），ab
点B的坐标为（0,b卜点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA，直线OM的斜率为彳5
（I）求E的离心率e;
F（-g0）,离心率为「，点M在椭圆上且位于
3
|FM|=4^^
5.【2015天津】已知椭圆务+d2=1（a>
0）的左焦点为ab
b4
第一象限，直线FM被圆x2+y2盲截得的线段的长为c，
（I）求直线FM的斜率；
（II）求椭圆的方程;
（III）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于42，求直线OP（0为原点）的斜率的取值范围
6.【2015四川】如图，椭圆E:
x2+y2=1（a>
bA0）的离心率是—,过点P（0,1）的动直线l与椭圆相交于A,ab2
B两点，当直线I平行与x轴时，直线I被椭圆E截得的线段长为2J2.
求椭圆E的方程;
Jf
与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=0N=1，MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕0转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C•以0为原点，AB所在的直线为
x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
（I）求曲线C的方程;
（n）设动直线I与两定直线li：
x-2y=0和l2：
x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线I总与曲线C有且只有一个公共
点，试探究：
AOQP的面积是否存在最小值？
若存在，求出该最小值；
若不存在，说明理由.
8.【2015陕西】已知椭圆E:
第+备=1（a：
＞b：
＞0）的半焦距为c，原点0到经过两点（c,0）,（0,b）的直线的
1
距离为一c.（I）求椭圆E的离心率;
225
（II）如图，AB是圆M:
（x+2）+（y-1）=-的一条直径,
若椭圆E经过A,E两点，求椭圆E的方程.
x
9.【2015新课标1】在直角坐标系xoy中，曲线C：
y=2与直线y=kx+a（a＞0）交与M,N两点,
（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程;
（n）y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/OPMMOPN说明理由.
10.【2015湖南】已知抛物线C1:
x^4y的焦点F也是椭圆C2:
-y2+令=1（aAb^O）的一个焦点,
Ci与C2的公共弦的长为2J6.
（1）求C2的方程;
（2）过点F的直线1与C1相交于A,B两点，与C2相交于C,D两点，且AC与"
Bd同向
（i）若|ACI^BDI，求直线丨的斜率
（ii）设G在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：
直线丨绕点F旋转时，iMFD总是钝角三角形
11.12015上海】已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线li和丨2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平
行四边形ABCD的面积为S.
（1）设A（Xi,yi）,C（X2,y2），用恵、C的坐标表示点C到直线li的距离，并证明S=2xiyi—x?
%；
（2）设丨1与12的斜率之积为-—,求面积S的值.
【押题专练】
1•椭圆=1（a>
b>
0）与直线x+y—1=0相交于P,Q两点，且OP!
OQ（O为原点）.
ab
A
11
（1）求证：
a^+b^等于定值；
（2）若椭圆的离心率
Xy
2•已知椭圆亍+p=1（a>
0,b>
0）的左焦点F为圆
最小值为｛2—1
（1）求椭圆方程;
⑵已知经过点
F的动直线I与椭圆交于不同的两点A,
B,点M（—4,0）
X
3.已知点A（0，—2），椭圆E:
-+
1（a>
0）
的离心率为申,F是椭圆E的右焦点，直线
AF的斜率为竽,
O为坐标原点.
（1）求E的方程;
（2）设过点A的动直线I与E相交于P,Q两点.
当^OPQ勺面积最大时，求I的方程.
内一个定点，过E作斜率分别为kl,k2的两条直线交抛物线于点
.2
4.如图，已知点E（m,0）（m>
0）为抛物线y=4x
A,B,C,D,且MN分别是AB,CD的中点.
（1）若m=1,k1k2=—1,求^EMN面积的最小值;
（2）若ki+k2=1,求证：
直线MN过定点.
5.在平面直角坐标系xOy中，椭圆r：
r*
蒼=1（a>
0）过点（2,0），焦距为2{3.
（1）求椭圆r的方程;
⑵设斜率为k的直线I过点C（—1,0）且交椭圆r于A,B两点，试探究椭圆r上是否存在点P,使得四边形OAPB
为平行四边形？
若存在，求出点P的坐标；
xy
6.已知椭圆C:
孑+b2=1（a>
0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=—3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
①证明：
OT平分线段PQ其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标.lPQl
7.已知圆C:
（X+@）2+y2=16，点A（{3,0）Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M,设点M的轨迹为E
（1）求轨迹E的方程;
4
A,B,△AOBQ是坐标原点）的面积S=R求直线AB的方程.
5
8.如图所示，已知点
A（1，调是离心率为芈的椭圆
b2+02=1（a>
0）上的一点,
斜率为眾的直线
BD交椭圆C于BD两点，且A、
B、
D三点不重合.
（1）
求椭圆C的方程;
△ABD的面积是否存在最大值；
若存在，求出这个最大值；
若不存在，请说明理由;
求证：
直线ABAD斜率之和为定值.
9.如图所示，椭圆C:
-+匕=1（a>
0）,A、A为椭圆C的左、右顶点.
设F为椭圆C的左焦点，证明：
当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PFi|取得最小值与最大值;
若椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1,求椭圆C的标准方程;
若直线I:
y=kx+m与⑵中所述椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点），且满足AA丄BA,
直线I过定点，并求出该定点的坐标.
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