高考数学四海八荒易错集专题05导数及其应用文Word格式.docx

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当cosx＝0时，恒有0≥－，得a∈R；

当0<

cosx≤1时，得a≥cosx－，令t＝cosx，f（t）＝t－在（0,1]上为增函数，得a≥f

（1）＝－；

当－1≤cosx<

0时，得a≤cosx－，令t＝cosx，f（t）＝t－在[－1,0）上为增函数，得a≤f（－1）＝.综上，可得a的取值范围是，故选C.

3．（2016·

山东）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）

A．y＝sinxB．y＝lnx

C．y＝exD．y＝x3

答案　A

4．（2016·

天津）已知函数f（x）＝（2x＋1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________．

答案　3

解析　因为f（x）＝（2x＋1）ex，

所以f′（x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3）ex，

所以f′（0）＝3e0＝3.

5．设函数y＝f（x）的导函数为f′（x），若y＝f（x）的图象在点P（1，f

（1））处的切线方程为x－y＋2＝0，则f

（1）＋f′

（1）等于（　　）

A．4B．3C．2D．1

解析　依题意有f′

（1）＝1,1－f

（1）＋2＝0，即f

（1）＝3，

所以f

（1）＋f′

（1）＝4.

6．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（　　）

A．－B．－2

C．－2或－D．2或－

解析　由题意知f′（x）＝3x2＋2ax＋b，f′

（1）＝0，f

（1）＝10，即解得或

经检验满足题意，故＝－.

7．已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0,1）上为减函数，函数g（x）＝x2－alnx在（1,2）上为增函数，则a的值等于________．

答案　2

8．已知函数f（x）＝x－，g（x）＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是__________．

答案　

解析　由于f′（x）＝1＋>

0，因此函数f（x）在[0,1]上单调递增，

所以x∈[0,1]时，f（x）min＝f（0）＝－1.

根据题意可知存在x∈[1,2]，

使得g（x）＝x2－2ax＋4≤－1，

即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，

令h（x）＝＋，

则要使a≥h（x）在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h（x）min，

又函数h（x）＝＋在x∈[1,2]上单调递减，

所以h（x）min＝h

（2）＝，故只需a≥.

易错起源1、导数的几何意义

例1　

（1）（2016·

课标全国甲）若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln（x＋1）的切线，则b＝________.

（2）已知f（x）＝x3－2x2＋x＋6，则f（x）在点P（－1,2）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于（　　）

A．4B．5

答案　

（1）1－ln2

（2）C

（2）∵f（x）＝x3－2x2＋x＋6，

∴f′（x）＝3x2－4x＋1，

∴f′（－1）＝8，切线方程为y－2＝8（x＋1），

即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，

令y＝0，得x＝－，

∴所求面积S＝×

×

10＝.

【变式探究】设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.

答案　1

解析　由题意得，

y′＝＝，

则曲线y＝在点处的切线的斜率为

k1＝＝1.

因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.

【名师点睛】

（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．

（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．函数f（x）在x0处的导数是曲线f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，曲线f（x）在点P处的切线的斜率k＝f′（x0），相应的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．

2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．

易错起源2、利用导数研究函数的单调性

例2、设函数f（x）＝xekx（k≠0）．

（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若函数f（x）在区间（－1,1）内单调递增，求k的取值范围．

解　

（1）由题意可得f′（x）＝（1＋kx）ekx，

f′（0）＝1，f（0）＝0，

故曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x.

（2）由f′（x）＝（1＋kx）ekx＝0，得x＝－（k≠0），

若k>

0，则当x∈时，f′（x）<

0，函数f（x）单调递减，

当x∈时，f′（x）>

0，函数f（x）单调递增；

若k<

0，则当x∈时，f′（x）>

0，函数f（x）单调递增，

当x∈时，f′（x）<

0，函数f（x）单调递减．

（3）由

（2）知，若k>

0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f（x）在区间（－1,1）内单调递增；

0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f（x）在区间（－1,1）内单调递增．

综上可知，函数f（x）在区间（－1,1）内单调递增时，k的取值范围是[－1,0）∪（0,1]．

【变式探究】

（1）已知m是实数，函数f（x）＝x2（x－m），若f′（－1）＝－1，则函数f（x）的单调递增区间是（　　）

A.

B.

C.∪（0，＋∞）

D.∪（0，＋∞）

（2）若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是__________．

答案　

（1）C　

（2）

解析　

（1）因为f′（x）＝3x2－2mx，

所以f′（－1）＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.

由f′（x）＝3x2＋4x>

0，解得x<

－或x>

0，即函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－）∪（0，＋∞），

故选C.

（2）f（x）的定义域为（0，＋∞）．

f′（x）＝4x－.

由f′（x）＝0，得x＝.

据题意，得

解得1≤k<

.

利用导数研究函数单调性的一般步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导函数f′（x）；

（3）①若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义域内解（或证明）不等式f′（x）>

0或f′（x）<

0.

②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解．

1．f′（x）>

0是f（x）为增函数的充分不必要条件，如函数f（x）＝x3在（－∞，＋∞）上单调递增，但f′（x）≥0.

2．f′（x）≥0是f（x）为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′（x）＝0时，则f（x）为常函数，函数不具有单调性．

易错起源3、利用导数求函数的极值、最值

例3、已知函数f（x）＝ax－－3lnx，其中a为常数．

（1）当函数f（x）的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在上的最小值；

（2）若函数f（x）在区间（0，＋∞）上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝a＋－（x>

0），

由题意可知，f′＝1，解得a＝1.

故f（x）＝x－－3lnx，

∴f′（x）＝，

根据题意由f′（x）＝0，得x＝2.

于是可得下表：

x

2

（2,3）

3

f′（x）

－

＋

f（x）

↘

1－3ln2

↗

∴f（x）min＝f

（2）＝1－3ln2.

（2）f′（x）＝a＋－＝（x>

0）,

由题意可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h（x）＝ax2－3x＋2，

则

解得0<

a<

故a的取值范围为.

【变式探究】已知函数f（x）＝lnx＋ax－a2x2（a≥0）．

（1）若x＝1是函数y＝f（x）的极值点，求a的值；

（2）若f（x）<

0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

（2）当a＝0时，f（x）＝lnx，显然在定义域内不满足f（x）<

0恒成立；

当a>

0时，

令f′（x）＝＝0，得

x1＝－（舍去），x2＝，

所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

（0，）

（，＋∞）

极大值

所以f（x）max＝f（）＝ln<

0，所以a>

1.

综上可得，a的取值范围是（1，＋∞）.

（1）求函数f（x）的极值，则先求方程f′（x）＝0的根，再检查f′（x）在方程根的左右函数值的符号．

（2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′（x）＝0根的大小或存在情况来求解．

（3）求函数f（x）在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值．

1．若在x0附近左侧f′（x）>

0，右侧f′（x）<

0，则f（x0）为函数f（x）的极大值；

若在x0附近左侧f′（x）<

0，右侧f′（x）>

0，则f（x0）为函数f（x）的极小值．

2．设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．

1．函数f（x）＝x2＋sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（　　）

解析　依题意f（x）＝x2－cosx，对f（x）求导，得f′（x）＝x＋sinx，可知f′（x）为奇函数，由此可排除B，D；

当x<

0时，f′（x）＝x＋sinx<

0，由此可排除A.

2．曲线y＝f（x）＝在点（1，f

（1））处的切线方程是（　　）

A．x＝1B．y＝

C．x＋y＝1D．x－y＝1

答案　B

解析　f（x）＝的导数f′（x）＝，

∴曲线在点（1，f

（1））处的切线斜率k＝0，

∵切点为，

∴曲线在点（1，f

（1））处的切线方程为y＝.

3．已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex.若f（x）在[－1,1]上是单调递减函数，则a的取值范围是（　　）

A．0<

B.<

C．a≥D．0<

4．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）