高考数学77立体几何中的向量方法一证明空间中的位置关系练习文档格式.docx
《高考数学77立体几何中的向量方法一证明空间中的位置关系练习文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学77立体几何中的向量方法一证明空间中的位置关系练习文档格式.docx(43页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
【解析】选A.因为α⊥β,
所以n1⊥n2,即n1·
n2=0,
经验证可知,选项A正确.
3.(2015·
锦州模拟)直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为( )
A.-2B
.-
C.
D.±
【解析】选D.由已知得s·
n=0,故-1×
2+1×
(x
2+x)+1×
(-x)=0,解得x=±
.
4.(2015·
珠海模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E,F分别在A1D,AC上,且A1E=
A1D,AF=
AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.
【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E
F
B(1,1,0),D1(0,0,1),
=(-1,0,-1),
=(-1,1,0),
=(-1,-1,1),
=-
·
=0,
从而EF∥
BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.
5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=
AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为( )
A.(1,1,1) B.
C.
D.
【解析】选C.由已知得A(
0),B(0,
0),D(
0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1).
则
=(x-
x-
1),
=(
-
0),
=(0,-
1).设平面BDE的一个法向量
为n=(a,b,c).
即
解得
令b=1,则n=(1,1,
).
又AM∥平面BDE,所以n·
=0.
即2(x-
)+
=0,得x=
所以M
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x= .
【解析】由α⊥β,得a⊥b.所以a·
b=x-2+6=0,
解得x=-4.
答案:
-4
7.(2015·
兰州模拟)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面α与β的位置关系是 .
【解析】由已知得,
=(0,1,-1),
=(1,0,-1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),
得
令z=1,得m=(1,1,1).
又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,
即m∥n,所以α∥β.
平行
【方法技巧】平面的法向量的求法
1.设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.
2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为 .
【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以
=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以
=(1,1,y),由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF,
只需
=(1,1,y)·
(x-1,0,1)=0⇒x+y=1.
1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·
四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:
AG∥平面BEF.
(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.
【解析】
(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),E
G
因为
而
所以
+
故
与平面BEF共面,
又因为AG不在平面BEF内,所以AG∥平面BEF.
(2)设M(1,1,m),则
=(1,1,
m),
由
所以-
+m=0⇒m=
所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.
10.(2015·
泰安模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥
平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°
AB=4,
CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°
的角.
CM∥平
面PAD.
(2)求证:
平面PAB⊥平面PAD.
【证明】以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为PC⊥平面ABCD,
所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
所以∠PBC=30°
.因为PC=2.所以BC=
2
PB=4.
所以D(0,1,0),B(2
0,0),A(2
4,0),P(0,0,2),M
=(0,-1,2),
=(2
3,0),
(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则
令y=2,得n=(-
2,1).
因为n·
×
+2×
0+1×
所以n⊥
又CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E,并连接BE,
则E(
2,1),
=(-
因为PB=AB,所以BE⊥PA.
又
2,1)·
(2
3,0)=0,
⊥
则BE⊥DA.
因为PA∩DA=A,所以B
E⊥平面PAD,
又因为BE⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=
AB,B1C1
BC,二面角A1-AB-C是直二面角.
求证:
(
1)A1B1⊥平面AA1C.
(2)AB1∥平面A1C1C.
【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,
所以AA1⊥平面BAC.
又因为AB=AC,BC=
AB,
所以∠CAB=90°
即CA⊥AB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).
(1)
=(0,2,0),
=(0,0,-2),
=(2,0,0),
设平面AA1C的一个法向量为n=(x,y,z),
取y=1,则n=(0,1,0).
=2n,即
∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.
(2)易知
=(0,2,2),
=(1,1,0),
=(2,0,-2),
设平面A1C1C的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则
令x1=1,则y1=-1,z1=1,
即m=(1,-1,1).
m=0×
1+2×
(-1)+2×
1=0,
⊥m.又AB1⊄平面A1C1C,
所以AB1∥平面A1C1C.
(20分钟 40分)
1.(5分)平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )
A.
B.(6,-2,-2)
C.(4,2,2)D.(-1,1,4)
【解析】选D.由已知得
=(2,1,1),
=(3,-1,-1),
设平面α的法向量为n=(x,y,z),则
令y=1,则n=(0,1,-1).经验算,对于选项A,B,C所对应的向量与法向量n的数量积均为零,而对于选项D,(-1)×
1+(-1)×
4=-3≠0,故选D.
【一题多解】本题还可以采用如下方法:
选D.对于选项A,因为
(1,-2,-2)=
所以选项A所对应的向量与平面α平行,同理可知选项B,C所对应的向量均与平面α平行,而对于选项D对应的向量与平面α不平行,故选D.
2.(5分)(2015·
太原模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=
则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.斜交B.平行
C.垂直D.不能确定
【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,
z轴,建立空间直角坐标系.
因为A1M=AN=
a,
所以M
N
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以
=(0,a,0),
=0,所以
是平面BB1C1C的一个法向量,
且MN⊄平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
【加固训练】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=
AD=2
P为C1D1的中点,M为B