概率论第七章习题解答Word下载.docx

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（2）

（3）

解　

（1）

　　而　　

　　故　

，解出

，得　

矩估计值为

（2）

（1）

　　由

（3）因为

，所以　

，解得

3、求下列各概率密度或分布律

（1）

为未知参数

各未知参数的极大似然估计和估计量。

解

（1）

，即

是未知参数

的极大似然估计值

是未知参数的极大似然估计量。

则有　

，即　

这是未知参数

的极大似然估计值。

的极大似然估计量

4、

（1）设总体

具有分布律

　　1　　　　2　　　　3

其中

（

）为未知，已取得了样本的值

，试求

矩估计值和最大似然估计值。

（2）设

是来自参数为

的泊松分布，试求

的最大似然估计量及矩估计量。

（3）设随机变量

服从以

为参数的二项分布，其分布律为

已知，

为未知，试求

的最大似然估计值。

，而

矩估计量为　　

　又因为　

矩估计值为　　

已知　

构造

的概率函数

　因为

，当

时，取值为1,2，3，而

时，取值为

所以　

　似然函数为

　　（注

）

，即

是

的最大似然估计量。

把样本的值

代入，得

的矩估计估计值。

解法二　

解得　　

的矩估计估计值为　

（备注：

求矩估计值用此方法比较简明，但如果要求矩估计量，就不是太好的。

（2）（ⅰ）设

是相应于

的样本值，则似然函数为

　由于泊松分布是离散型随机变量，故只要把

中的变量

换成

，则

），故

的最大似然估计值为　

的最大似然估计量为　

（ⅱ）求

的矩估计量

因为

，故

的矩估计量也是

　（3）

　得

5、设某种电子器件的寿命（以h计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为

）为未知参数。

自一批这种电子器件中随机地取n件作寿命试验，设它们的失效时间依次为

（1）求

与

（2）求

的矩估计值量。

解　

（1）作似然函数

　若要

取最大值，则要求c尽是大，而当

单调增加，一霎时，当c取最大值时，

取最大值；

　　而

（概率密度中要求

取值为

　　且　

，故取

　又　

，所以　　

取　

，此即为

（2）求求

的矩估计值量

　（分部积分法）

；

　　　①

　（为了求

　（由上一个积分得。

故　

　　②

联合①与②解得

又　

（一阶中心矩）

6、一地质学家为研究密歇根湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录每个样品中属于石灰石的石子数，假设这100次观察相互独立，并且由过去的经验知，它们都是服从

的二项分布。

是这地区一块石子是石灰石的概率，求

该地质学家所得的数据如下：

一样品中属石灰石的石子数i

0　1　2　3　4　　5　6　　7　8　9　10

100个样品中有i块石灰石的样品个数

0　1　6　7　23　26　21　12　3　1　0

（表中数据的含义：

第一行中说明的是每一个样品中所含有的石灰石的个数每次观察的结果，第二行中说明观察对100个样品作观察时其中含有上述各个石灰石数的观察次数即的频数，以

为例，说明4　100次观察（100个样品）中有6个样品是含有2块石灰石的，同样

则说明在100个样品中有26个样品所含的石灰石的个数为5，如此等等。

于是100次观察得到的总的石灰石的块数为上下两行对应之数乘积之和：

共499，即在100个样本中，总共有石灰石块499块。

解　设第i次试验观察到石灰石的石子数为

是相应于样本

的样本值，（这里有多个

的取同个值）

的分布律为

　（

故其最大似然函数为

　所以

的最大似然估计值为

所以　所以

解法二：

由第三题（3）的结论知，二项分布

的矩估计量为

，此处

所以

7、

（1）设

是来自总体的一个样本，且

，求

（2）某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起严重事故的次数服从泊松分布，求一个扳道员在五年未引起严重事故的概率

的最大似然估计，使用下面122个观察值。

下表中

表示一个扳道员五年中引起严重事故的次数，

表示观察到的扳道员的人数。

　　0　　　1　　　2　　　3　　　　4　　　　5

　　44　　42　　　21　　9　　　　4　　　　2

解　

（1）设

的样本值，本小题需求　

　　　的最大似然估计。

由第四题知泊松分布的参数

的最大似然估计值

，又由于函数

是具有单值反函数

，根据最大似然估计的不变性知

（2）由所给数据得

扳道员在5年内未引起严重事故，相当于

由

（1）的结论知，

8、

（1）设

是来自概率密度为

的总体的样本，

未知，求

是来自总体

的一个样本，

（3）设

的样本值，又

解　

（1）先求

的最大似然估计，其似然函数为

　　令　　

则

的最大似然估计为　

　　（＊1）

具有单调反函数

，由最大似然估计的不变性知U的最大似然估计为

（其中

由（＊1）确定）

（2）已知正态分布的未知参数

由　　　

而

具有单调反函数。

由最大似然估计的不变性得

的最大似然估计为

（3）因为总体是服从二项分布，由本章习题第3题知二项分布

的参数

由

得反函数

，根据由最大似然估计的不变性，

9、

（1）验证教材第六章§

3定理四的统计量

是两个总体公共方差

的无偏估计。

（2）设总体的

的数学期望为

是来自总体的样本，

是任意常数，验证

）是

解　由第六章3定理四（教材P143）知，当

时，才有

即

是公共方差　　

于是　

是两个总体公共方差的无偏估计。

（2）　因为

是来自总体的样本，而

　　　所以　

即　　

10、设

的样本。

设

（1）确定常数

，使

为

（2）确定常数

的无偏估计（

是样本均值，

是样本方差）。

解　

（1）　

令　　　

得　

（2）　　因为

令　　　　

，解得　　

11、设总体

的概率密度为

的样本，

（1）验证

的最大似然估计量是

（2）验证

的无偏估计量。

令　

，　

所以　　

　　即

12、设

是来自均值为

的指数分布总体的样本，其中

设有估计量　　　

（1）指出

中哪几个是无偏估计量。

（2）在上述的无偏估计中指出哪一个较有效。

解　因为

的指数分布总体的样本，

无偏估计量。

（2）因为

　由于　　

　故

较

有效。

13、

（1）设

是参数

的无偏估计，且有

，试证

不是

（2）试证明均匀分布

中未知参数

的最大似然估计量不是无偏的。

解　

（1）因为

的无偏估计，即

而　

，　所以　

，此时方程无解，这表明通过求驻点的方法找到极大似然估计量的方法失效。

但我们注意到，极大似然函数

的单调减函数。

由于每个

，所以

的取值从

而增大，当

达到最大。

的极大似然估计。

由独立同分布的随机变量

的分布函数为

知

即　未知参数

14、设从均值为

，方差为

的总体中分别抽取容量为

和

的两个独立样本，

是这两个样本的均值。

试证：

对于任意常数

），

都是

的无偏估计，并确定