专题探究课三数列的通项与求和Word格式文档下载.docx

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❶得步骤分：

抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第

（1）问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果.在第

（2）问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.

❷得关键分：

（1）an－1满足的关系式，

（2）验证n＝1，（3）对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.

❸得计算分：

解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如（得分点2），（得分点5），（得分点7）.

求数列通项与求和的模板

第一步：

由等差（等比）数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项.

第二步：

根据和的表达式或通项的特征，选择适当的方法求和.

第三步：

明确规范地表述结论.

【训练1】（2017·

山东卷）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.

解　

（1）设{an}的公比为q，

由题意知

又an>

0，

解得所以an＝2n.

（2）由题意知：

S2n＋1＝＝（2n＋1）bn＋1，

又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，

所以bn＝2n＋1.

令cn＝，则cn＝，

因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝＋＋＋…＋＋，

又Tn＝＋＋＋…＋＋，

两式相减得Tn＝＋－，

所以Tn＝5－.

热点二　等差数列、等比数列的综合问题

解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.

【例2】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N+），且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.

（2）设Tn＝Sn－（n∈N+），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

解　

（1）设等比数列{an}的公比为q，

因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，

于是q2＝＝.

又{an}不是递减数列且a1＝，

所以q＝－.

故等比数列{an}的通项公式为an＝×

＝（－1）n－1·

.

（2）由

（1）得Sn＝1－＝

当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，

所以1<

Sn≤S1＝，

故0<

Sn－≤S1－＝－＝.

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，

所以＝S2≤Sn<

1，

故0>

Sn－≥S2－＝－＝－.

综上，对于n∈N+，总有－≤Sn－≤.

所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.

探究提高　解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.

【训练2】已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项.

（2）若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋（n＋m）an＋1<

0恒成立，试求m的取值范围.

解　

（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

依题意，有2（a3＋2）＝a2＋a4，

代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.

∴a2＋a4＝20，

∴解得或

又{an}单调递增，

∴∴an＝2n.

（2）bn＝2n·

log2n＝－n·

2n，

∴－Sn＝1×

2＋2×

22＋3×

23＋…＋n×

2n，①

∴－2Sn＝1×

22＋2×

23＋3×

24＋…＋（n－1）×

2n＋n×

2n＋1，②

①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×

2n＋1

＝－n×

2n＋1＝2n＋1－n×

2n＋1－2.

由Sn＋（n＋m）an＋1<

得2n＋1－n×

2n＋1－2＋n×

2n＋1＋m×

2n＋1<

0对任意正整数n恒成立，

∴m·

2－2n＋1，即m<

－1对任意正整数n恒成立.

∵－1>

－1，∴m≤－1，

故m的取值范围是（－∞，－1].

热点三　数列的实际应用

数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模型.

【例3】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元.

（1）求该企业2014年年底分红后的资金；

（2）求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.

解　设an为（2010＋n）年年底分红后的资金，其中n∈N+，

则a1＝2×

1000－500＝1500，

a2＝2×

1500－500＝2500，…，

an＝2an－1－500（n≥2）.

∴an－500＝2（an－1－500）（n≥2），

因此数列{an－500}是以a1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列，

∴an－500＝1000×

2n－1，

∴an＝1000×

2n－1＋500.

（1）∵a4＝1000×

24－1＋500＝8500，

∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元.

（2）由an>

32500，即2n－1>

32，得n>

6，

∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.

探究提高　1.数列应用题的常见模型

（1）等差模型：

当后一个量与前一个量的差是一个常量时，该模型是等差模型，这个常量就是公差.

（2）等比模型：

当后一个量与前一个量的比是一个常数时，该模型是等比模型，这个常数就是公比.

（3）递推模型：

当题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1之间的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系.

2.解答数列应用题的基本步骤

（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意.

（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清数列的结构和特征.

（3）求解——求出该问题的数学解.

（4）还原——将所求结果还原到实际问题中.

【训练3】（教材习题原题）某牛奶厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到万元）?

解　设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，

第一年剩余资金是1000（1＋50%）－x＝1000×

－x；

第二年剩余资金是×

－x

＝1000－x，

……

依此类推：

第五年剩余资金为

1000×

－x，由题意知，1000×

－x＝2000，

则x＝1000×

－2000，解得x≈424（万元），故每年应扣除消费基金424万元.

1.（2018·

许昌模拟）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.

（2）设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.

解　

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由得

∴bn＝b1qn－1＝3n－1，

又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，

∴1＋（14－1）d＝27，解得d＝2.

∴an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×

2＝2n－1（n＝1，2，3，…）.

（2）由

（1）知an＝2n－1，bn＝3n－1，

因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.

从而数列{cn}的前n项和

Sn＝1＋3＋…＋（2n－1）＋1＋3＋…＋3n－1

＝＋＝n2＋.

2.（2017·

天津卷）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N+）.

由已知b2＋b3＝12，得b1（q＋q2）＝12，

而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，

又因为q>

0，解得q＝2，所以bn＝2n.

由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①

由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②

联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.

所以{an}的通项公式为an＝3n－2，{bn}的通项公式为bn＝2n.

（2）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，bn＝2n，有

Tn＝4×

2＋10×

22＋16×

23＋…＋（6n－2）×

2Tn＝4×

22＋10×

23＋16×

24＋…＋（6n－8）×

2n＋（6n－2）×

2n＋1，

上述两式相减，得

－Tn＝4×

2＋6×

22＋6×

23＋…＋6×

2n－（6n－2）×

＝－4－（6n－2）×

2n＋1＝－（3n－4）2n＋2－16.所以Tn＝（3n－4）2n＋2＋16.

所以数列{a2nbn}的前n项和为（3n－4）2n＋2＋16.

3.已知二次函数y＝f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N+）均在函数y＝f（x）的图象上.

（2）设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.

解　

（1）设二次函数f（x）＝ax2＋bx（a≠0），

则f′（x）＝2ax＋b.

由于f′（x）＝6x－2，得a＝3，b＝－2，

所以f（x）＝3x2－2x.

又因为点（n，Sn）（n∈N+）均在函数y＝f（x）的图象上，

所以Sn＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3（n－1）2－2（n－1）]＝6n－5；

当n＝1时，a1＝S1＝3×

12－2×

1＝6×

1－5，也适合上式，

所以an＝6n－5（n∈N+）.

（2）由

（1）得bn＝＝

＝·

，

故Tn＝＝

＝.

4.在数列{a