浙江高考一轮 第9章 第4节 随机事件的概率Word下载.docx
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（或AB）
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
且A∪B＝Ω
3.概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率P（E）＝1.
（3）不可能事件的概率P（F）＝0.
（4）互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；
②若事件B与事件A互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）事件发生的频率与概率是相同的．（ ）
（2）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（ ）
（3）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．（ ）
（4）6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．（ ）
[答案]
（1）×
（2）√ （3）√ （4）×
2．（教材改编）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为（ ）
A．①B．②
C．③ D．④
B [至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]
3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
，甲获胜的概率是
，则甲不输的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
A [事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为
＋
＝
.]
4．（2017·
杭州调研）集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________.【导学号：
51062340】
[从A，B中各取一个数有（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3）共6种情况，
其中和为4的有两种情况（2,2），（3,1），
故所求事件的概率P＝
5．（2017·
嘉兴模拟）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为
，都是白子的概率是
，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
[由题意知，所求概率P＝
随机事件间的关系
从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．①B．②④
C．③ D．①③
C [从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：
一奇一偶，两个奇数，两个偶数，
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．]
[规律方法] 1.本题中准确理解恰有两个奇数（偶数），一奇一偶，至少有一个奇数（偶数）是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．
（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
（2）对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．
[变式训练1] 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________.
【导学号：
51062341】
①A与D为对立事件；
②B与C是互斥事件；
③C与E是对立事件；
④P（C∪E）＝1；
⑤P（B）＝P（C）．
①④ [当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；
C∪E为必然事件，④正确．由于B≠C，故P（B）≠P（C），所以⑤不正确．]
随机事件的频率与概率
某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
频数
60
50
30
20
10
（1）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P（A）的估计值；
（2）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P（B）的估计值；
（3）求续保人本年度平均保费的估计值．
[解]
（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为
＝0.55，故P（A）的估计值为0.55.4分
（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为
＝0.3，故P（B）的估计值为0.3.8分
（3）由所给数据得
保费
频率
0.30
0.25
0.15
0.10
0.05
12分
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×
0.30＋a×
0.25＋1.25a×
0.15＋1.5a×
0.15＋1.75a×
0.10＋2a×
0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.15分
[规律方法] 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数（概率），因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
[变式训练2] 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
5
6
7
8
9
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
16
17
18
19
21
22
23
24
25
26
27
28
29
（1）在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解]
（1）由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分
以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为
.6分
（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日与3日等）．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝
.13分
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为
.15分
互斥事件与对立事件的概率
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数（人）
x
y
结算时间
（分钟/人）
1.5
2.5
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）．
[解]
（1）由题意，得
解得
2分
该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．
又
＝1.9，
∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.6分
（2）设B，C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．设A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．”8分
将频率视为概率，得P（B）＝
，
P（C）＝
.
∵B，C互斥，且
＝B＋C，
∴P（
）＝P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝
，13分
因此P（A）＝1－P（
）＝1－
∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.15分
[规律方法] 1.
（1）求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
（2）结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．
2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；
二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P（A）＝1－P（
）求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
[变式训练3] 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）1张奖券的中奖概率；
（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解]
（1）P（A）＝
P（B）＝
，2分
故事件A，B，C的概率分别为
.5分
（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、
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