高中数学人教A版选修22课时作业 2211 综合法Word文档下载推荐.docx

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解得t≥2+2.

3.（2014·

广州高二检测）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：

那么，d⊗（a⊕c）等于（　　）

A.aB.bC.cD.d

【解析】选A.由所给定义知a⊕c=c，d⊗c=a，

所以d⊗（a⊕c）=d⊗c=a.

4.（2014·

济南高二检测）如果x>

0，y>

0，x+y+xy=2，则x+y的最小值为（　　）

A.B.2-2C.1+D.2-

【解析】选B.由x>

0，x+y+xy=2，

则2-（x+y）=xy≤，

所以（x+y）2+4（x+y）-8≥0，

x+y≥2-2或x+y≤-2-2，

由x>

0知x+y≥2-2.

5.在面积为S（S为定值）的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长p最小，这时θ，r的值分别是（　　）

A.θ=1，r=B.θ=2，r=

C.θ=2，r=D.θ=2，r=

【解析】选D.设扇形的弧长为l，

则lr=S，

所以l=，又p=2r+l=2r+≥2=4，

当且仅当r=，即r=时等号成立，

此时θ====2.

6.（2014·

西安高二检测）在△ABC中，tanA·

tanB>

1，则△ABC是（　　）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

【解析】选A.因为tanA·

1，

所以角A，角B只能都是锐角，

所以tanA>

0，tanB>

0，1-tanA·

tnaB<

0，

所以tan（A+B）=<

0.

所以A+B是钝角，即角C为锐角.

二、填空题（每小题4分，共12分）

7.设a>

0，则下面两式的大小关系为lg（1+）______ 

[lg（1+a）+lg（1+b）].

【解题指南】要比较两者大小，可先比较（1+）与的大小，又需先比较（1+）2与（1+a）（1+b）的大小.

【解析】因为（1+）2-（1+a）（1+b）

=1+2+ab-1-a-b-ab

=2-（a+b）=-（-）2≤0，

所以（1+）2≤（1+a）（1+b），

所以lg（1+）≤[lg（1+a）+lg（1+b）].

答案：

≤

【变式训练】若a≠b，a≠0，b≠0，则比较大小关系：

+______ 

+.

【解析】可比较|a|+|b|与|a|+|b|的大小，进而比较|a|-|a|与|b|-|b|的大小，从而可比较出大小.

因为（|a|-|a|）-（|b|-|b|）

=|a|（-）-|b|（-）

=（+）（-）2.

因为a≠b，a≠0，b≠0，所以上式>

故+>

>

8.点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离的最小值是________.

【解题指南】在曲线上求一点，使得在此点处的切线和直线y=x-2平行，求出两条平行线间的距离即可.

【解析】点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小.直线y=x-2的斜率为1.令y=x2-lnx的导数

y′=2x-=1，得x=1或x=-（舍），所以切点坐标为（1，1），点（1，1）到直线y=x-2的距离等于.

9.（2014·

天水高二检测）已知数列{an}的前n项和为Sn，f（x）=，an=log2，则S2014=________.

【解题指南】利用对数的性质，把an写成log2f（n+1）-log2f（n），则式子中可出现正负相消的情况.

【解析】an=log2=log2f（n+1）-log2f（n），

所以S2014=a1+a2+a3+…+a2014=[log2f

（2）-log2f

（1）]+[log2f（3）-log2f

（2）]

+[log2f（4）-log2f（3）]+…+[log2f（2014）-log2f（2013）]

=log2f（2014）-log2f

（1）

=log2-log2

=log2+1.

log2+1

三、解答题（每小题10分，共20分）

10.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+，求证：

bn·

bn+2<

.

【解析】

（1）由已知得an+1=an+1，

则an+1-an=1，又a1=1，

所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列.

故an=1+（n-1）×

1=n.

（2）由

（1）知，an=n，从而bn+1-bn=2n.

bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1

=2n-1+2n-2+…+2+1

==2n-1.

因为bn·

bn+2-

=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2

=（22n+2-2n+2-2n+1）-（22n+2-2·

2n+1+1）

=-2n<

所以bn·

11.（2014·

石家庄高二检测）已知倾斜角为60°

的直线L经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点.

（1）求弦AB的长.

（2）求三角形ABO的面积.

（1）由题意得：

直线L的方程为y=（x-1），

代入y2=4x，得：

3x2-10x+3=0.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则：

x1+x2=.

由抛物线的定义得：

弦长|AB|=x1+x2+p=+2=.

（2）点O到直线AB的距离d==，

所以三角形OAB的面积为S=|AB|·

d=.

一、选择题（每小题4分，共16分）

1.（2014·

石家庄高二检测）p=+，q=·

（m，n，a，b，c，d均为正数），则p，q的大小为（　　）

A.p≥qB.p≤q

C.p>

qD.不确定

【解析】选B.q=≥

=+

=p，

当且仅当=时取等号.

【变式训练】已知函数f（x）=，a，b是正实数，A=f，B=f（），C=f，则A，B，C的大小关系为（　　）

A.A≤B≤CB.A≤C≤B

C.B≤C≤AD.C≤B≤A

【解析】选A.因为≥≥，

又f（x）=在R上是减函数.

所以f≤f（）≤f.

2.设0<

x<

1，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（　　）

A.aB.b

C.cD.不能确定

【解析】选C.易得1+x>

2>

，

因为（1+x）（1-x）

=1-x2<

又0<

即1-x>

所以1+x<

南昌高二检测）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项S8=32，则S10等于（　　）

A.18B.24C.60D.90

【解题指南】由等比中项的定义可得=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，设出公差d，列方程解出a1和d进而求出S10.

【解析】选C.等差数列{an}的公差为d，因为a4是a3与a7的等比中项，

所以=a3·

a7，

即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d）

整理得2a1+3d=0，　①

又S8=8a1+d=32.

整理得2a1+7d=8，　②

由①②知d=2，a1=-3.

所以S10=10a1+d=60.

4.若钝角三角形ABC三内角A，B，C的度数成等差数列且最大边与最小边的比为m，则m的取值范围是（　　）

A.（2，+∞）B.（0，2）

C.[1，2]D.[2，+∞）

【解析】选A.设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，

因为三内角的度数成等差数列，

所以2B=A+C.

则A+B+C=3B=180°

，可得B=60°

根据余弦定理得cosB=cos60°

==.

得b2=a2+c2-ac，

因三角形ABC为钝角三角形，

故a2+b2-c2<

于是2a2-ac<

0，即>

2.

又m=，即m∈（2，+∞）.

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.已知sinα+sinβ+sinr=0，cosα+cosβ+cosr=0，则cos（α-β）的值为__________.

【解析】由sinα+sinβ+sinr=0，cosα+cosβ+cosr=0，

得sinα+sinβ=-sinr，cosα+cosβ=-cosr，

两式分别平方，相加得2+2（sinαsinβ+cosαcosβ）=1，

所以cos（α-β）=-.

-

6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点形成一条曲线，这条曲线的长度为________.

【解析】这条曲线在面ADD1A1上的一段是以A为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，在面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为3=π.

π

三、解答题（每小题12分，共24分）

7.若a，b，c是不全相等的正数，求证：

lg+lg+lg>

lga+lgb+lgc.

【证明】因为a，b，c∈（0，+∞），

所以≥>

0，≥>

又上述三个不等式中等号不能同时成立.

所以·

·

abc成立.

上式两边同时取常用对数，

得lg>

lg（abc），

所以lg+lg+lg>

【变式训练】

（2014·

太原高二检测）设a，b，c>

0，证明：

++≥a+b+c.

【解题指南】用综合法证明，可考虑运用基本不等式.

【证明】因为a，b，c>

0，根据基本不等式，

有+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c.

三式相加：

+++a+b+c≥2（a+b+c）.

当且仅当a=b=c时取等号.

即++≥a+b+c.

8.设g（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），其图象上任一点P（x，y）处切线的斜率为f（x），且方程f（x）=0的两根为α，β.

（1）若α=β+1，且β∈Z，求证f（-a）=（a2-1）.

（2）若α，β∈（2，3），求证存在整数k，使得|f（k）|≤.

【证明】

（1）由题意得f（x）=g′（x）=x2+ax+b，

所以消去β得a2-4b=1，

满足Δ>

0，所以b=（a2-1）.

所以f（-a）=（-a）2+a（-a）+b=b=（a2-1）.

（2）因为α，β∈（2，3），f（x）=x2+ax+b=（x-α）（x-β），

所以|f

（2）|·

|f（3）|=|（2-α）（2-β）|·

|（3-α）（3-β）|

=|（α-2）（3-α）|·

|（β-2）（3-β）|≤·

=，

故必有|f

（2）|≤或|f（3）|≤.

所以存在整数k=2或k=3，使|f（k）|≤.

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