《金版学案》高二数学必修5苏教版练习章末知识整合2Word文档格式.docx

《金版学案》高二数学必修5苏教版练习章末知识整合2Word文档格式.docx

《《金版学案》高二数学必修5苏教版练习章末知识整合2Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《金版学案》高二数学必修5苏教版练习章末知识整合2Word文档格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

…，

故an＝n＋（n∈N*）．

（3）正负相间，且负号在奇数项，故可用（－1）n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，所以an＝（－1）n·

（2n＋1－1）．

（4）这样的摆动数列，一般求两数的平均数＝4，

而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用（－1）n来表示．

an＝4＋（－1）n·

2或an＝

归纳拓展

（1）观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键．

（2）由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5，0，－5，0，5，…的通项公式可为5cos（n∈N*），也可为an＝5sin（n∈N*）．

（3）已知数列的前n项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列．如{（－1）n}，{n}，{2n－1}，{2n}，{2n－1}，{n2}，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式．

[变式训练]

1．写出下列数列的一个通项公式．

（1）1，－，，－，…；

（2），，2，2，…；

（3）1，3，6，10，15，…；

（4）1，－4，7，－10，13，….

（1）an＝（－1）n＋1（n∈N*）．

（2）原数列可写成，，，，…，

易得an＝（n∈N*）．

（3）因为3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，…，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝（n∈N*）．

（4）因为1，4，7，10，13，…组成1为首项，3为公差的等差数列，易得an＝（－1）n＋1（3n－2）（n∈N*）．

二、利用an＝求an

[典例2]数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn－3（n∈N＋），求an的通项公式．

利用an＝将式中的Sn去掉求解．

当n＝1时，a1＝5S1－3＝5a1－3，

得：

a1＝，

当n≥2时，由已知an＝5Sn－3，

an－1＝5Sn－1－3，

两式作差得an－an－1＝5（Sn－Sn－1）＝5an，

所以an＝－an－1.

所以数列{an}是首项a1＝，公比q＝－的等比数列．

所以an＝a1·

qn－1＝·

已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1（n≥2）．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1时Sn－1＝S0，而与前n项和定义矛盾．可见由an＝Sn－Sn－1所确定的an，当n＝1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为an＝

2．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.

（1）求a1的值；

（2）求{an}的通项公式．

（1）当n＝1时，T1＝2S1－1，而T1＝S1＝a1，

所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.

（2）n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－（n－1）2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1.

所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①

Sn＋1＝2Sn＋2n＋1.②

②－①得an＋1＝2an＋2，

即an＋1＋2＝2（an＋2），亦即＝2.

a1＋2＝3，a2＋2＝6，＝2，

所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列．

所以an＋2＝3·

2n－1，故an＝3·

2n－1－2（n∈N*）．

三、叠加法

[典例3]已知a1＝1，an＋1－an＝2n－n.

（1）求a2，a3；

（2）求证：

an＝2n－－1.

由数列{an}的递推公式，令n＝1，2逐项求出a2，a3；

由递推公式的特点，可采用叠加法求通项．

（1）解：

因为a1＝1，

所以a2＝a1＋2－1＝2，

a3＝a2＋22－2＝4.

（2）证明：

因为an＋1－an＝2n－n，

所以a2－a1＝21－1，a3－a2＝22－2，a4－a3＝23－3，…，

当n≥2时，an－an－1＝2n－1－（n－1）．

所以n≥2时，将以上（n－1）个式子相加，得

an－a1＝（21＋22＋…＋2n－1）－[1＋2＋…＋（n－1）]，

所以an＝2n－－1.

而n＝1时，a1＝1也适合上式．

所以数列{an}的通项公式为an＝2n－－1.

（1）对n＝1时，检验a1＝1是否满足an＝是必要的，否则就要写成分段函数的形式．

（2）如果给出数列{an}的递推公式为an＝an－1＋f（n）型，并且{f（n）}容易求和，这时可采用叠加法．

对n＝1检验是必要的，否则就要写成分段函数的形式，这里说的f（n）易求和，指的是f（n）的形式为等差数列前n项和、等比数列前n项和，或是常见的特殊公式，如12＋22＋32＋…＋n2＝等．

3．已知数列{an}满足an＋1＝an＋n2，且a1＝1，求{an}的通项公式．

因为an＋1＝an＋n2，所以an＋1－an＝n2.

所以叠加即得

an－a1＝12＋22＋…＋（n－1）2＝，

所以an＝n（n－1）（2n－1）＋1（n∈N*）．

四、叠乘法

[典例4]已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝（n＋2）an，求an.

数列{an}中的递推公式可化为＝可采用叠乘法求通项．

因为＝，

所以n≥2时，·

·

…·

＝×

×

…×

＝，

即＝.

又因为a1＝1，

所以an＝.

而a1＝1也适合上式，

所以{an}的通项公式为an＝n（n＋1）．

如果数列{an}的递推公式为＝f（n）型时，并且{f（n）}容易求前n项的积，这时可采用叠乘法．叠乘的目的是使分子、分母相抵消．

4．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1＝2nan，求an.

由an＋1＝2nan得＝2n，

所以＝21，＝22，…，＝2n－1.叠乘得＝2×

22×

2n－1＝2，

所以an＝2·

＝2（n∈N*）．

五、构造转化法

[典例5]已知{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，求an.

两边同除以，可转化为bn＋1＝bn＋t的形式，即{bn}为等差数列．

在an＋1＝an＋的两边同乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝2nan＋1，令bn＝2nan，

则bn＋1＝bn＋1.

于是{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列．

则bn＝＋（n－1）·

1，即2nan＝n＋，

故an＝.

根据已知条件构造一个与{an}有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得{an}的通项公式．新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如an＝pan－1＋q（p，q为常数）的形式，往往变为an－λ＝p（an－1－λ），构成等比数列，求an－λ通项公式，再求an.

5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an－2，求an.

由an＋1＝3an－2，设an＋1＋k＝3（an＋k），

其中k是待定系数，即an＋1＝3an＋2k与条件进行对比，

得2k＝－2，所以k＝－1.

故an＋1－1＝3（an－1），

所以{an－1}是2－1＝1为首项，公比为3的等比数列．

所以an－1＝1×

3n－1.

所以an＝3n－1＋1（n∈N*）．

专题2数列的求和

一、公式法

[典例6]

（1）求1＋4＋7＋…＋（3n＋1）的值；

（2）若数列{xn}满足logaxn＋1＝1＋logaxn（n∈N*，a＞0，且a≠1）且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，求x101＋x102＋…＋x200的值．

（1）中1，4，7，…，3n＋1是个等差数列，但容易这样求解：

Sn＝＝＋n.这是错误的，错在没搞清此数列有多少项．

（2）可以作个变换logaxn＋1－logaxn＝loga＝1，推导出{xn}是等比数列再求解．

（1）因为数列中3×

0＋1＝1，

所以第1项1是n＝0时得到的．

所以此数列是首项为1，末项为3n＋1，项数为n＋1的等差数列．

所以Sn＝＝＋＋1.

（2）由logaxn＋1＝1＋logaxn得logaxn＋1－logaxn＝1，

所以loga＝1.

所以＝a.

所以数列{xn}是公比为a的等比数列．

由等比数列的性质得：

x101＋x102＋…＋x200＝（x1＋x2＋…＋x100）a100＝100×

a100.

数列求和常用的公式有：

等差数列：

Sn＝＝na1＋d.

等比数列：

Sn＝

＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）．

2＝12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）．

6．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1，1，2，…，求{cn}的前10项之和．

设{an}的首项为a，公比为q，{bn}首项为b，公差为d，b1＝0，由c1＝a1＋b1＝1，知a1＝1.

c2＝a2＋b2＝q＋d＝1，

c3＝a3＋b3＝q2＋2d＝2，

解得q＝2，d＝－1，所以an＝2n－1（n∈N*），

bn＝1－n（n∈N*）．

所以cn＝2n－1＋（1－n）（n∈N*）．

所以{cn}前10项和为a1＋a2＋…＋a10＋（b1＋b2＋…＋b10）＝＋＝978.

二、分组求和法

[典例7]求数列an＝的前2n项和，

由数列{an}的通项可知，数列{an}中的奇数项构成一个等差数列，偶数项构成一个等比数列，故可将所有奇数项分成一组，将所有的偶数项分成一组求和．

因为2n为偶数所以奇数项与偶数项各有n项，

所以S2n＝[1＋3＋5＋…＋（2n－1）]＋（22＋24＋26＋…＋22n）＝＋＝n2＋（4n－1）．

将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用的是化归的数学思想，通项变形是这种方法的关键．

7．已知数列{an}的通项公式为an＝n（n＋1），求{an}的前n项和Sn.

an＝n（n＋1）＝n＋n2（n∈N*），

所以Sn＝（1＋2＋3＋…＋n）＋（12＋22＋32＋…＋n2）＝＋＝.

三、裂项相消法

[典例8]求和：

＋＋＋…＋，n≥2.

由于通项an＝＝＝·

（n≥2），所以采用裂项相消法．

因为＝＝，

所以原式＝

＝＝－.

裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项．使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的．

常见的拆项公式有：

（1）＝－；

（2）＝；

（3）＝；

（4）＝（－）；

（5）an＝Sn－Sn－1（n≥2）．

8．已知数列{an}的通项公式为an＝，求{an}的前n项和Sn.

因为＝＝－，

所以Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.

四、错位相减法

[典例9]求数列{n·

22n－1}的前n项和．

该数列为非等差非等比数列，其通项an＝n·

22n－1可看成一个等差数bn＝n，与一个等比数列Cn＝22n－1相应项的积，所以本题可用错位相减法求解．

Sn＝1×

2＋2×

23＋3×

25＋…＋n·

22n－1，①