《金版学案》高二数学必修5苏教版练习章末知识整合2Word文档格式.docx
《《金版学案》高二数学必修5苏教版练习章末知识整合2Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《金版学案》高二数学必修5苏教版练习章末知识整合2Word文档格式.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![《金版学案》高二数学必修5苏教版练习章末知识整合2Word文档格式.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/12/0655b782-2617-4fc8-a26c-a2e69f94ea2d/0655b782-2617-4fc8-a26c-a2e69f94ea2d1.gif)
…,
故an=n+(n∈N*).
(3)正负相间,且负号在奇数项,故可用(-1)n来表示符号,各项的绝对值恰是2的整数次幂减1,所以an=(-1)n·
(2n+1-1).
(4)这样的摆动数列,一般求两数的平均数=4,
而2=4-2,6=4+2,中间符号用(-1)n来表示.
an=4+(-1)n·
2或an=
归纳拓展
(1)观察是归纳的前提,合理的转换是完成归纳的关键.
(2)由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一.如数列5,0,-5,0,5,…的通项公式可为5cos(n∈N*),也可为an=5sin(n∈N*).
(3)已知数列的前n项,写出数列的通项公式时,要熟记一些特殊数列.如{(-1)n},{n},{2n-1},{2n},{2n-1},{n2},等,观察所给数列与这些特殊数列的关系,从而写出数列的通项公式.
[变式训练]
1.写出下列数列的一个通项公式.
(1)1,-,,-,…;
(2),,2,2,…;
(3)1,3,6,10,15,…;
(4)1,-4,7,-10,13,….
(1)an=(-1)n+1(n∈N*).
(2)原数列可写成,,,,…,
易得an=(n∈N*).
(3)因为3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,15=1+2+3+4+5,…,所以an=1+2+3+…+n=(n∈N*).
(4)因为1,4,7,10,13,…组成1为首项,3为公差的等差数列,易得an=(-1)n+1(3n-2)(n∈N*).
二、利用an=求an
[典例2]数列{an}的前n项和为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N+),求an的通项公式.
利用an=将式中的Sn去掉求解.
当n=1时,a1=5S1-3=5a1-3,
得:
a1=,
当n≥2时,由已知an=5Sn-3,
an-1=5Sn-1-3,
两式作差得an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an,
所以an=-an-1.
所以数列{an}是首项a1=,公比q=-的等比数列.
所以an=a1·
qn-1=·
已知数列的前n项和公式,求数列的通项公式,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2).这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错,即由an=Sn-Sn-1求得an时的n是从2开始的自然数,否则会出现当n=1时Sn-1=S0,而与前n项和定义矛盾.可见由an=Sn-Sn-1所确定的an,当n=1时的a1与S1相等时,an才是通项公式,否则要用分段函数表示为an=
2.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求{an}的通项公式.
(1)当n=1时,T1=2S1-1,而T1=S1=a1,
所以a1=2a1-1,解得a1=1.
(2)n≥2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1.
所以Sn=2Sn-1+2n-1,①
Sn+1=2Sn+2n+1.②
②-①得an+1=2an+2,
即an+1+2=2(an+2),亦即=2.
a1+2=3,a2+2=6,=2,
所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列.
所以an+2=3·
2n-1,故an=3·
2n-1-2(n∈N*).
三、叠加法
[典例3]已知a1=1,an+1-an=2n-n.
(1)求a2,a3;
(2)求证:
an=2n--1.
由数列{an}的递推公式,令n=1,2逐项求出a2,a3;
由递推公式的特点,可采用叠加法求通项.
(1)解:
因为a1=1,
所以a2=a1+2-1=2,
a3=a2+22-2=4.
(2)证明:
因为an+1-an=2n-n,
所以a2-a1=21-1,a3-a2=22-2,a4-a3=23-3,…,
当n≥2时,an-an-1=2n-1-(n-1).
所以n≥2时,将以上(n-1)个式子相加,得
an-a1=(21+22+…+2n-1)-[1+2+…+(n-1)],
所以an=2n--1.
而n=1时,a1=1也适合上式.
所以数列{an}的通项公式为an=2n--1.
(1)对n=1时,检验a1=1是否满足an=是必要的,否则就要写成分段函数的形式.
(2)如果给出数列{an}的递推公式为an=an-1+f(n)型,并且{f(n)}容易求和,这时可采用叠加法.
对n=1检验是必要的,否则就要写成分段函数的形式,这里说的f(n)易求和,指的是f(n)的形式为等差数列前n项和、等比数列前n项和,或是常见的特殊公式,如12+22+32+…+n2=等.
3.已知数列{an}满足an+1=an+n2,且a1=1,求{an}的通项公式.
因为an+1=an+n2,所以an+1-an=n2.
所以叠加即得
an-a1=12+22+…+(n-1)2=,
所以an=n(n-1)(2n-1)+1(n∈N*).
四、叠乘法
[典例4]已知数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+2)an,求an.
数列{an}中的递推公式可化为=可采用叠乘法求通项.
因为=,
所以n≥2时,·
·
…·
=×
×
…×
=,
即=.
又因为a1=1,
所以an=.
而a1=1也适合上式,
所以{an}的通项公式为an=n(n+1).
如果数列{an}的递推公式为=f(n)型时,并且{f(n)}容易求前n项的积,这时可采用叠乘法.叠乘的目的是使分子、分母相抵消.
4.在数列{an}中,已知a1=,an+1=2nan,求an.
由an+1=2nan得=2n,
所以=21,=22,…,=2n-1.叠乘得=2×
22×
2n-1=2,
所以an=2·
=2(n∈N*).
五、构造转化法
[典例5]已知{an}中,a1=,an+1=an+,求an.
两边同除以,可转化为bn+1=bn+t的形式,即{bn}为等差数列.
在an+1=an+的两边同乘以2n+1,得2n+1an+1=2nan+1,令bn=2nan,
则bn+1=bn+1.
于是{bn}是以为首项,以1为公差的等差数列.
则bn=+(n-1)·
1,即2nan=n+,
故an=.
根据已知条件构造一个与{an}有关的新的数列,通过新数列通项公式的求解求得{an}的通项公式.新的数列往往是等差数列或是等比数列.例如形如an=pan-1+q(p,q为常数)的形式,往往变为an-λ=p(an-1-λ),构成等比数列,求an-λ通项公式,再求an.
5.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an-2,求an.
由an+1=3an-2,设an+1+k=3(an+k),
其中k是待定系数,即an+1=3an+2k与条件进行对比,
得2k=-2,所以k=-1.
故an+1-1=3(an-1),
所以{an-1}是2-1=1为首项,公比为3的等比数列.
所以an-1=1×
3n-1.
所以an=3n-1+1(n∈N*).
专题2数列的求和
一、公式法
[典例6]
(1)求1+4+7+…+(3n+1)的值;
(2)若数列{xn}满足logaxn+1=1+logaxn(n∈N*,a>0,且a≠1)且x1+x2+x3+…+x100=100,求x101+x102+…+x200的值.
(1)中1,4,7,…,3n+1是个等差数列,但容易这样求解:
Sn==+n.这是错误的,错在没搞清此数列有多少项.
(2)可以作个变换logaxn+1-logaxn=loga=1,推导出{xn}是等比数列再求解.
(1)因为数列中3×
0+1=1,
所以第1项1是n=0时得到的.
所以此数列是首项为1,末项为3n+1,项数为n+1的等差数列.
所以Sn==++1.
(2)由logaxn+1=1+logaxn得logaxn+1-logaxn=1,
所以loga=1.
所以=a.
所以数列{xn}是公比为a的等比数列.
由等比数列的性质得:
x101+x102+…+x200=(x1+x2+…+x100)a100=100×
a100.
数列求和常用的公式有:
等差数列:
Sn==na1+d.
等比数列:
Sn=
=1+2+3+…+n=n(n+1).
2=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1).
6.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且b1=0,cn=an+bn,若{cn}是1,1,2,…,求{cn}的前10项之和.
设{an}的首项为a,公比为q,{bn}首项为b,公差为d,b1=0,由c1=a1+b1=1,知a1=1.
c2=a2+b2=q+d=1,
c3=a3+b3=q2+2d=2,
解得q=2,d=-1,所以an=2n-1(n∈N*),
bn=1-n(n∈N*).
所以cn=2n-1+(1-n)(n∈N*).
所以{cn}前10项和为a1+a2+…+a10+(b1+b2+…+b10)=+=978.
二、分组求和法
[典例7]求数列an=的前2n项和,
由数列{an}的通项可知,数列{an}中的奇数项构成一个等差数列,偶数项构成一个等比数列,故可将所有奇数项分成一组,将所有的偶数项分成一组求和.
因为2n为偶数所以奇数项与偶数项各有n项,
所以S2n=[1+3+5+…+(2n-1)]+(22+24+26+…+22n)=+=n2+(4n-1).
将数列的每一项拆成多项,然后重新分组,将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题,运用的是化归的数学思想,通项变形是这种方法的关键.
7.已知数列{an}的通项公式为an=n(n+1),求{an}的前n项和Sn.
an=n(n+1)=n+n2(n∈N*),
所以Sn=(1+2+3+…+n)+(12+22+32+…+n2)=+=.
三、裂项相消法
[典例8]求和:
+++…+,n≥2.
由于通项an===·
(n≥2),所以采用裂项相消法.
因为==,
所以原式=
==-.
裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项.使数列中的项出现有规律的抵消项,从而达到求和的目的.
常见的拆项公式有:
(1)=-;
(2)=;
(3)=;
(4)=(-);
(5)an=Sn-Sn-1(n≥2).
8.已知数列{an}的通项公式为an=,求{an}的前n项和Sn.
因为==-,
所以Sn=+++…+=1-=.
四、错位相减法
[典例9]求数列{n·
22n-1}的前n项和.
该数列为非等差非等比数列,其通项an=n·
22n-1可看成一个等差数bn=n,与一个等比数列Cn=22n-1相应项的积,所以本题可用错位相减法求解.
Sn=1×
2+2×
23+3×
25+…+n·
22n-1,①