冲击响应不变法设计数字Chebyshev低通滤波器Word文档格式.docx
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时间安排：
2009年1月5日至2009年1月15日
指导教师签名：
2008年月日
系主任（或责任教师）签名：
年月日
摘要
切比雪夫滤波器的幅度特性具有等纹波特性。
他有两种类型，一种是通带为等纹波的，在阻带是单调的成为切比雪夫Ι型滤波器；
一种是通带单调，阻带等纹波的，称为切比雪夫ΙΙ型。
用冲击相应不变法设计滤波器要求用模拟系统函数Ha（s）求拉普拉斯反变换得到模拟冲击响应然后抽样得到h（n）=ha（nT）,再取Z变换得到H（z）。
Abstract
CharacteristicpropertyhastheextentbeingsuretocompetewitheachotherintheXuefuwavefilterwaitingforlineswavecharacteristicproperty.Hehastwokindstypes,akindofisthatbelttheinnerisawavewaitforlines,isthatmonotonousbecomingissuretobecomparedtotheXuefuIOTAtypewavefilterwithinhinderingbelt;
Akindofisthatbelttheinnerismonotonous,hinderthesimultaneousinnerfromwaitingforlineswave'
s,becalledissuretobecomparedtotheXuefuIOTAIOTAtype.GetHwithpoundingcorrespondinginvariablefollowthealternationdesigningthatthewavefilterdemandstouseHa（s）simulatingsystemfunctiontoaskLaplaceonthecontraryalternationtobeimitatedpoundrespondtoandthengettingtheh（n）=ha（nT）,takingZagainbysampling（z）.
Chebyshev低通滤波器
1设计方法
1.1冲击响应不变法原理（Impulseinvariance）
冲击响应不变法的设计原理是使数字滤波器的单位抽样响应序列h（n），模仿模拟滤波器的冲击响应g（t）。
设系统传递函数为G（s）的模拟滤波器的单位冲击响应g（t），并将冲击响应g（t）进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位抽样响应h（t）刚好等于g（t）的采样值，即：
（1-1）
其中Ts为采样周期。
因为G（s）是模拟滤波器的系统传递函数，故他是该系统冲击响应函数g（t）的拉普拉斯变换；
又设H（z）是数字滤波器的系统传递函数，从而可的它是数字滤波器的单位抽样响应函数h（n）的Z变换。
模拟信号的拉普拉斯变换与其采样序列Z变换的关系为：
（1-2）
上式的物理意义为首先将模拟滤波器的系统函数G（s）作周期的延拓，再经过的映射变换，从而得到数字滤波器的系统函数H（z）。
假设s平面上，s在j轴上取值，z在Z平面的单位圆周上取值，可以得到数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为
（1-3）
其中
假设模拟滤波器的系统函数G（s）只有单阶极点，且M<
N，系统传递函数可以用部分分式表示：
（1-4）
其拉普拉斯变换脉冲响应g（t）为：
g（t）=，t≥0
0，t＜0（1-5）
对g（t）进行等间隔采样，可以得到数字滤波器的单位取样响应函数h（n）为：
当n≥0时，h（n）=；
当n＜0时，h（n）=0（1-6）
然后对h（n）进行Z变换，就可以得到数字滤波器的系统传递函数H（z）：
（1-7）
按照冲击响应不变法的原理，通过模拟滤波器的系统传递函数G（s），可以直接球的数字滤波器的系统函数H（z），
1.2冲击响应不变法设计滤波器的转换步骤归纳
（1）利用ω=ΩT（可由关系式推导出），将，转换为，，而，不变；
（2）求解低通模拟滤波器的传递函数G（s）；
（3）根据式1-4和1-7将模拟滤波器的传递函数G（s）转换为数字滤波器的传递函数H（z）。
2切比雪夫（chebyshev）滤波器
2.1切比雪夫滤波器简介
切比雪夫滤波器（又译车比雪夫滤波器）是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。
在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。
切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。
切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带存在幅度波动。
这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·
列波维其·
切比雪夫
2.2切比雪夫滤波器原理
巴特沃兹滤波器在通带幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止处，幅度下降很多，或者说，为了使通带的衰减足够小，需要的阶次N很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的。
切比雪夫滤波器的在通带围是等幅起伏的，所以在同样的通常衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。
切比雪夫滤波器的振幅平方函数为
（2-1）
式中
Ωc—有效通带截止频率
—与通带波纹有关的参量，大,波纹大0<
<
1
VN（x）—N阶切比雪夫多项式
（2-2）
|x|≤1时,|VN（x）|≤1
|x|>
1时,|x|↗,VN（x）↗
切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示,通带，的变化围为
1（max）→（min）
时，|x|>
1,随↗，→0（迅速趋于零）
当=0时，
（2-3）
N为偶数，cos2（）=1，得到min，
，（2-4）
N为奇数，cos2（，得到max，
（2-5）
切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图1所示。
图1切比雪夫滤波器的振幅平方特性
2.3Chebyshev有关参数的确定
2.3.1通带截止频率
预先给定
2.3.2ε的确定
与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成
（2-6）
所以,,
给定通带波纹值分贝数后，可求得。
2.3.3阶数N
由阻带的边界条件确定。
、A2为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点处,要求滤波器频响衰减到1/A2以上。
（2-7）
（2-8）
（2-9）
（2-10）
滤波器阶数N对滤波特性有极大的影响，N越大，逼近特性越好，但是相应的结构也越复杂。
一般情况下N等于通带最大和最小个数的总和。
N的数值可根据阻带衰减来确定。
3切比雪肤低通滤波器的设计
3.1matlab函数说明
1.cheb1ord.m
求切比雪夫1型滤波器的阶次。
2．cheb1ap.m
用来设计原型切比雪夫1型模拟滤波器。
3．cheby1.m
直接设计切比雪夫1型滤波器。
此函数设计N阶切比雪夫1型滤波器，通带波动为RpdB。
在长度为N+1的矢量b和a中返回滤波器系数。
以上3个文件的调用格式和对应的巴特沃兹滤波器的文件类似。
4．impinvar.m
用冲激响应不变法实现到及s到z的转换。
3.2Matlab程序及运行
3.2.1matlab程序
%利用模拟切比雪夫滤波器设计数字滤波器
%冲击响应不变法
%数字滤波器指标
wp=0.2*pi;
%通带截止频率
ws=0.3*pi;
%阻带截止频率
Rp=1;
%通带最大衰减
As=15;
%阻带最大衰减
T=1;
%设定周期为1s
%将数字滤波器指标反转换为模拟滤波器的参数
%性能指标
Rip=10^（-Rp/20）;
Atn=10^（-As/20）;
OmgP=wp*T;
OmgS=ws*T;
%切比雪夫1型模拟滤波器的设计
[n,Wn]=cheb1ord（OmegaP,OmegaS,1,15,'
s'
）;
%求出满足设计指标的最小阶数n和截止频率Wn
[b,a]=cheby1（n,1,Wn,'
low'
'
%Chebyshev模拟低通滤波器的生成
freqs（b,a）;
%设计模拟的频率响应
[bz,az]=impinvar（b,a,T）;
%用脉冲响应不变法映射为数字的
[H,W]=freqz（bz,az,512,T）;
%设计数字的频率响应
ma=20*log10（abs（H））,pha=20*log10（unwrap（angle（H）））,hi=impz（bz,az）;
ni=step（bz,az）;
%幅度，相位，冲击响应，阶跃相应
%图形的生成
subplot（2,2,1）,plot（W,ma）;
title（'
幅频特性（dB）'
xlabel（'
w（/pi）'
ylabel（'
dB'
subplot（2,2,2）,plot（W,pha）;
相频特性'
pha（/pi）'
subplot（2,2,3）,plot（hi）;
单位冲击响应'
n'
h（n）'
subplot（2,2,4）,plot（ni）;
单位阶越响应'
bz,az;
%加坐标网格;
程序运行窗口如图2所示。
图2matlab程序窗口
3.2.2编程原理说明
MATLAB提供了一个函数[z，p，k]=cheb1ap（N，Rp），来设计一个阶数为N，通带波动为Rp的归一化切比雪夫1型原型滤波器，它在数组z中返回零点，数组p中返回极点，并返回增益k。
我们需要具有任意的归一化的切比雪夫1型滤波器，这可由归一化滤波器的数组p乘以得到。
这种滤波器没有零点。
新增益k由旧的增益k乘以非归一化与归一化多项式在s=0出的比值。
上述程序是根据要求所给的性能指标先用cheb1ap设计一个模拟切比雪夫滤波器，然后用函数impinvar将模拟滤波器转换为数字滤波器。
3.3波形记录及分析
在matlab中运行切比雪夫滤波器的设计程序得到它的幅频特性、相频特性、单位冲激响应、单位阶越响应如图3所示
图3切比雪夫滤波器波形
波形分析：
切比雪夫低通滤波器的幅频特性具有等纹波特性，切比雪夫1型如图所示，器通带为等纹波的，阻带是单调的。
冲击响应频率坐标的变换是线性的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率的话，则通过变换后滤波器的频响可不失真的原响应与频率的关系。
4小结
本次课程设计我的任务是用冲击响应不变法设计切比雪夫低通数字滤波器，并应用MATLAB软件进行仿真分析，是数字信号处理的知识与软件应
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