学年高中数学人教A版选修12创新应用教学案第三章章末小结与测评含答案Word下载.docx
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2．设复数z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m的取值，使
（1）z是纯虚数；
（2）z是实数；
（3）z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
解：
（1）由
得m＝3.
∴当m＝3时，z是纯虚数．
（2）由
得m＝－1或m＝－2.
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
（3）由
得
－1<
m<
1－
或1＋
<
3.
∴当－1<
3时，复数z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；
乘法类比多项式乘法；
除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.
2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i幂的周期性变化，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．
另外计算要注意下面结论的应用：
（1）（a±
b）2＝a2±
2ab＋b2，
（2）（a＋b）（a－b）＝a2－b2，
（3）（1±
i）2＝±
2i，
（4）
＝－i，
（5）
＝i，
（6）a＋bi＝i（b－ai）．
[典例2] 复数
等于（ ）
A.
－
i
C．－
iD．－
选D
i.
[典例3] 已知复数z1＝
，z2＝a－3i（a∈R）．
（1）若a＝2，求z1·
；
（2）若z＝
是纯虚数，求a的值．
由于z1＝
＝1－3i.
（1）当a＝2时，z2＝2－3i，
∴z1·
2＝（1－3i）·
（2＋3i）＝2＋3i－6i＋9＝11－3i.
为纯虚数，则应满足
解得a＝－9.即a的值为－9.
3．设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝（ ）
A．－1＋iB．－1－i
C．1＋iD．1－i
选A z＝
＝－1＋i，故选A.
4．设a，b∈R，a＋bi＝
（i为虚数单位），则a＋b的值为________．
∵a＋bi＝
，∴a＋bi＝
＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，
故a＋b＝8.
8
5．计算：
（1）（1－i）
（1＋i）；
（2）
（3）（2－i）2.
（1）法一：
（1－i）
（1＋i）
i＋
i2
＝－1＋
法二：
原式＝（1－i）（1＋i）
＝（1－i2）
＝2
＝i.
（3）（2－i）2＝（2－i）（2－i）
＝4－4i＋i2＝3－4i.
复数z＝a＋bi（a，b∈R）和复平面上的点Z（a，b）一一对应，和向量OZ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．
[典例4] 若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数
的点是（ ）
A．EB．FC．GD．H
选D 由题图可得z＝3＋i，所以
＝2－i，则其在复平面上对应的点为H（2，－1）．
[典例5] 已知z是复数，z＋2i，
均为实数（i为虚数单位），且复数（z＋ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
设z＝x＋yi（x，y∈R），
则z＋2i＝x＋（y＋2）i，
（x＋yi）（2＋i）
（2x－y）＋
（2y＋x）i.
由题意知
∴
∴z＝4－2i.
∵（z＋ai）2＝[4＋（a－2）i]2
＝（12＋4a－a2）＋8（a－2）i，
由已知得
∴2<
a<
6.∴实数a的取值范围是（2,6）．
6．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．（2,4）B．（2，－4）
C．（4，－2）D．（4,2）
选C 由iz＝2＋4i，可得z＝
＝4－2i，
所以z对应的点的坐标是（4，－2）．
7．已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
设z＝x＋yi，x，y∈R，如图，A（1，2），B（－2,6），C（x，y）．
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得
或
∵|OA|≠|BC|，∴x＝－3，y＝4（舍去），故z＝－5.
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应复平面上的点Z，则复数的模|z|＝|OZ―→|＝
，即Z（a，b）到原点的距离．
[典例6] 已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．
法一：
则|x＋yi＋2－2i|＝1，
即|（x＋2）＋（y－2）i|＝1.
∴（x＋2）2＋（y－2）2＝1.
∴|z－3－2i|＝
，
由（y－2）2＝1－（x＋2）2≥0，得x2＋4x＋3≤0.
∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36.
∴4≤
≤6.
∴当x＝－1时，|z－3－2i|取最小值4.
由复数及其模的几何意义知：
满足|z＋2－2i|＝1，
即|z－（－2＋2i）|＝1的复数z所对应的点是以C（－2,2）为圆心，半径r＝1的圆，而|z－3－2i|＝|z－（3＋2i）|的几何意义是：
复数z对应的点与点A（3,2）的距离．
由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r.
又|AC|＝
＝5，
所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4.
8．在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是（ ）
A．线段B．圆
C．椭圆D．双曲线
选B ∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－（3－4i）．
∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，
∴|z2－（3－4i）|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以（3，－4）为圆心，2为半径的圆．
9．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.
∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
|z－i|＝|x＋yi－i|＝|x＋（y－1）i|＝
∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.
故当y＝－2时，5－2y取最大值9，
从而
取最大值3，此时x＝0，
即|z－i|取最大值3时，z＝－2i.
方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A（0,1）的距离．
如图，连接AO并延长与圆交于点B（0，－2），显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，
即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3.
（时间：
120分钟满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知
＝1＋i（i为虚数单位），则复数z＝（ ）
A．1＋iB．1－i
C．－1＋iD．－1－i
选D 由
＝1＋i，得z＝
＝－1－i，故选D.
2．复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．－1－iB．－1＋i
C．1－iD．1＋i
选A ∵z＝i（i＋1）＝－1＋i，∴
＝－1－i.
3．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
选D 由已知，得z1－z2＝3－4i－（－2＋3i）＝5－7i，则z1－z2在复平面内对应的点为（5，－7）．
4．设a是实数，且
是实数，则a等于（ ）
B．1C.
D．2
选B
i，
由题意可知
＝0，即a＝1.
5．a为正实数，i为虚数单位，
＝2，则a＝（ ）
A．2B.
C.
D．1
选B 由已知
＝2得
＝|（a＋i）·
（－i）|＝|－ai＋1|＝2，所以
＝2，∵a＞0，∴a＝
6．复数
2＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a2－b2的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
选A
2＝
＝－i＝a＋bi，所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.
7．已知f（n）＝in－i－n（i2＝－1，n∈N），集合{f（n）|n∈N}的元素个数是（ ）
A．2B．3C．4D．无数个
选B f（0）＝i0－i0＝0，f
（1）＝i－i－1＝i－
＝2i，
f
（2）＝i2－i－2＝0，f（3）＝i3－i－3＝－2i，
由in的周期性知{f（n）|n∈N}＝{0，－2i,2i}．
8．复数z1＝
2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量
对应的复数是（ ）
B．－3－i
C．1＋iD．3＋i
选D ∵z1＝（－i）2＝－1，z2＝2＋i，
对应的复数是z2－z1＝2＋i－（－1）＝3＋i.
9．z1＝（m2＋m＋1）＋（m2＋m－4）i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
选A m＝1时，z1＝3－2i＝z2，故“m＝1”是“z1＝z2”的充分条件．
由z1＝z2，得m2＋m＋1＝3，且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，故“m＝1”不是“z1＝z2”的必要条件．
10．已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于（ ）
A．2－2iB．2＋2i
C．－2＋2iD．－2－2i
选A ∵b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，
∴b2＋4b＋4＋（a＋b）i＝0，
∴z＝2－2i.
11．定义运算
＝ad－bc，则符合条件
＝4＋2i的复数z为（ ）
A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i
选A 由定义知
＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝
＝3－i.
12．若1＋
i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则（ ）
A．b＝2，c＝3B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1D．b＝2，c＝－1
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