高考数学 数列试题文档格式.docx

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（2）设，证明，其中为正整数．

（1）由

整理得．

又，所以是首项为，公比为的等比数列，

得

（2）方法一：

由

（1）可知，故．

那么，

又由

（1）知且，故，

因此为正整数．

方法二：

由

（1）可知，因为，

所以．

由可得，即

两边开平方得．即为正整数．

3．（北京卷）若数列的前项和，则此数列的通项公式

为；

数列中数值最小的项是第项．

数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式

为=，数列的通项公式为，其中数值最小

的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项。

数列中，，（是常数，），

且成公比不为的等比数列．

（）求的值；

（）求的通项公式．

（），，，

因为，，成等比数列，

所以，解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（）当时，由于，，，

所以．

又，，故．

当时，上式也成立，所以．

4．（天津卷）设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，

则（）

A.2B.4C.6D.8

是与的等比中项可得（*），由为等差数列，及代入（*）式可得.故选B.

在数列中N其中.

（I）求数列的通项公式；

（II）求数列的前项和；

（III）证明存在N使得对任意N均成立.

【分析】

（I）解法一：

，

.

由此可猜想出数列的通项公式为.

以下用数学归纳法证明.

（1）当时等式成立.

（2）假设当时等式成立，即那么，

这就是说，当时等式也成立.根据

（1）和

（2）可知，等式对任何N都成立.

解法二：

由N可得

所以为等数列，其公差为1，首项为0.故

所以数列的通项公式为

（II）解：

设①

②

当时，①式减去②式，得

这时数列的前项和

当时，这时数列的前项和

（III）证明：

通过分析，推测数列的第一项最大.下面证明：

③

由知要使③式成立，只要因为

所以③式成立.因此，存在使得对任意N均成立.

【考点】本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

5．（上海卷）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%

（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为

，，，．

则2006年全球太阳电池的年生产量为（兆瓦）．

（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．解得．

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．

如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．

（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，

．依次写出的每一项；

（2）设是项数为（正整数）的“对称数列”，其中

是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为

何值时，取得最大值？

并求出的最大值；

（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，

使得依次是该数列中连续的项；

当时，

求其中一个“对称数列”前项的和．

（1）设的公差为，则，解得，

数列为．

（2），

，

当时，取得最大值．的最大值为626．

（3）所有可能的“对称数列”是：

①；

②；

③；

④．

对于①，当时，．

当时，

．

对于②，当时，．

当时，．

对于③，当时，．

对于④，当时，．

6．（重庆卷）若等差数列{}的前三项和且，则等于（）

A．3B.4C.5D.6

由可得选A

设{}为公比q>

1的等比数列，若和是方程的两根，

则__________.

和是方程的两根，故有：

或（舍）。

已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且

（1）求{}的通项公式；

（5分）

（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，

求证：

.（7分）

（）解：

由，解得或，

由假设，因此，

又由，

得，

即或，因，故不成立，舍去．

因此，从而是公差为，首项为的等差数列，

故的通项为．

（）证法一：

由可解得；

从而．

因此．

令，则．

因，故．

特别地，从而．

即．

证法二：

同证法一求得及，

由二项式定理知，当时，不等式成立．

由此不等式有

证法三：

同证法一求得及．

令，．

因．因此．

从而

证法四：

下面用数学归纳法证明：

当时，，，

因此，结论成立．

假设结论当时成立，即．

则当时，

因．故．

从而．这就是说，当时结论也成立．

综上对任何成立．

7．（辽宁卷）设等差数列的前项和为，若，，则（）

A．63B．45C．36D．27

由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，

所以S=45，选B

已知数列，与函数，，满足条件：

.

（I）若，，，

且存在，求的取值范围,并求（用表示）；

（II）若函数为上的增函数，，，，

证明对任意，．

（Ⅰ）解法一：

由题设知得

又已知,可得………………………………………4分

由

是等比数列，其首项为.于是

又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

……………………………………………………………………8分

解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得

………………………………………4分

由可知,

所以是首项为,公比为的等比数列.

由可知，若存在，则存在.于是可得0＜＜1,

所以-2＜t＜2且

=2………………………………………………8分

解法三:

由题设知tbn+1=2bn+1,即

①

于是有

②

②-①得

由

所以是首项为,公比为的等比数列，于是

（b2-b1）+2b.

………………………………………………8分

（Ⅱ）证明：

因为.

下面用数学归纳法证明＜.

（1）当n=1时，由f（x）为增函数,且＜1,得

＜1,＜1,＜，

即＜，结论成立.……………………………………………10分

（2）假设n=k时结论成立，即＜.由f（x）为增函数，得

＜f（）,即＜,进而得

＜f（）,即＜.

这就是说当n=k+1时，结论也成立.

根据

（1）和

（2）可知，对任意的＜.………………………12分

8．（江苏卷）已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，

（1）若是大于的正整数，求证：

；

（4分）

（2）若是某个正整数，求证：

是整数，且数列中每一项

都是数列中的项；

（8分）

（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？

若存在，

写出一个的值，并加以说明；

若不存在，请说明理由；

设的公差为，由，知，（）

（1）因为，所以，

所以

（2），由，

所以解得，或，

但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，

设数列中任意一项为，

设数列中的某一项=

现在只要证明存在正整数，使得，即在方程

中有正整数解即可，，

所以，若，则，那么，

当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，

因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为

与数列的第项相等，从而结论成立。

（3）设数列中有三项成等差数列，则有

2设，所以2，

令，则，因为，

所以，所以，即存在使得

中有三项成等差数列。

9．（广东卷）已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=

（A）9（B）8（C）7（D）6

a1=S1=-8，而当n≥2时，由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10，此式对于n=1也成立。

要满足5<

ak<

8,只须5<

2k-10<

8，从而有<

k<

9，而k为自然数。

因而只能取k=8。

10．（福建卷）数列的前项和为，若，则等于（）

A．1B．C．D．

=，所以

，选B.

等差数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项与前项和；

（Ⅱ）设，求证：

数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

（Ⅰ）由已知得，，故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，

则．即．

，

．

与矛盾．

所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．

11．（安徽卷）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>

0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>

0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证：

Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.

（Ⅰ）我们有．

（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得

，①

在①式两端同乘，得

②

②①，得

．

如果记，，则．

其中是以为首项，以为公比的等比数列；

是以为首项，为公差的等差数列．

12．（湖南卷）已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．

（I）证明：

数列（）是常数数列；

（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

当时，弦（）的斜率随单调递增．

（I）当时，由已知得．

因为，所以．……①

于是．……②

由②－①得．……③

于是．……④

由④－③得，……⑤

所以，即数列是常数数列．

（II）由①有，所以．由③有，，

所以，．

而⑤表明：

数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，

所以，，，

数列是单调递