高三数学二轮 函数与方程教案Word文档格式.docx

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A．4　　　　　　　　　　B．5

C．6D．7

[解析]　根据x2的范围判断y＝cosx2在区间[0，4]上的零点个数．当x＝0时，f（x）＝0.又因为x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.

因为5π<

16<

，所以函数y＝cosx2在x2取，，，，时为0，此时f（x）＝0，所以f（x）＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6.

[答案]　C

跟踪训练

（xx年保定摸底）函数f（x）＝3cos－logx的零点的个数是（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

把求函数f（x）的零点的个数问题转化为求函数y＝3cosx的图象与函数y＝logx的图象的交点的个数的问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图．

函数y＝3cosx的最小正周期是4，当x＝8时，y＝log8＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f（x）＝3cos－logx有5个零点．

答案：

D

方法总结：

函数零点个数的判断方法：

（1）直接求零点：

令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理：

利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·

f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；

（3）利用图象交点的个数：

画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

类型二函数零点的应用问题

应用函数零点求参数值或取值范围的方法

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．

[例2]　（xx年高考天津卷）已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．

[解析]　先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．

根据绝对值的意义，

y＝＝

在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．

根据图象可知，

当0<

k<

1或1<

4时有两个交点．

[答案]　（0，1）∪（1，4）

已知函数f（x）＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

因为原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解的问题，即方程a＝2x－ex有解．

令函数g（x）＝2x－ex，则g′（x）＝2－ex，

令g′（x）＝0，得x＝ln2，所以g（x）在（－∞，ln2）上是增函数，在（ln2，＋∞）上是减函数，

所以g（x）的最大值为g（ln2）＝2ln2－2.

因此，a的取值范围就是函数g（x）的值域，

即a∈（－∞，2ln2－2]．

（－∞，2ln2－2]

若函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·

f（b）＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，

f（a）·

f（b）＞0，f（x）在区间（a，b）上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．

类型三函数的实际应用

1．常见模型：

一次或二次函数模型、分式函数模型、指数式函数模型．

2．对函数模型求最值的常用方法：

单调性法、基本不等式法及导数法．

[例3]　（xx年高考江苏卷）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－（1＋k2）x2（k>

0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？

请说明理由．

[解析]　

（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，由实际意义和题设条件知x>

0，k>

0，故x＝＝≤＝10，

当且仅当k＝1时取等号．

所以炮的最大射程为10千米．

（2）因为a>

0，所以炮弹可击中目标存在k>

0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0a≤6.

所以当a不超过6千米时，可击中目标．

2012年2月2日，德国总理默克尔访华，促进了中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费），该设备购买的总费用为50000元；

使用中每年的固定保养费为6000元；

前x年的总保养费y满足y＝ax2＋bx，已知第一年的总保养费为1000元，前两年的总保养费为3000元，则这种设备的最佳使用年限为________年．

由题意，得，解得，

所以y＝500x2＋500x.

设该设备的年平均消耗费用为f（x），

由题意，可知年平均消耗费用为f（x）＝＋6000＋500x＋500＝500x＋＋6500≥16500，

当且仅当500x＝时，等号成立，此时x＝10，所以最佳使用年限为10年．

10

（1）审题：

深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；

（2）建模：

由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；

（3）解模：

用数学知识和方法解决转化出的数学问题；

（4）还原：

回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．

析典题（预测高考）

高考真题

【真题】　（xx年高考福建卷）对于实数a和b，定义运算“*”：

a*b＝设f（x）＝（2x－1）*（x－1），且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．

【解析】　根据新定义写出

f（x）的解析式，数形结合求出m的取值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解．

由定义可知，

f（x）＝

作出函数f（x）的图象，如图所示．

由图可知，当0<

m<

时，f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1<

x2<

x3，易知x2>

0，且x2＋x3＝2×

＝1，∴x2x3<

.

令解得x＝或x＝（舍去）．

∴<

x1<

0，∴<

x1x2x3<

0.

【答案】　（，0）

【名师点睛】　本题以新定义函数为载体，综合考查了二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数零点，不等式的基本性质等基础知识，考查考生在新问题情境中识别问题、分析问题、解决问题的能力．解答本题的关键在于数形结合确定m的取值范围．

考情展望

高考对函数与方程及应用的考查多以选择、填空形式出现，主要有两个方面：

一是判断零点个数或零点所在区间，二是利用零点问题确定参数问题，着重考查等价转化、数形结合思想的运用，难度中档以上．

名师押题

【押题】　设函数f（x）的零点为x1，函数g（x）＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|>

，则f（x）可以是（　　）

A．f（x）＝2x－　　　　B．f（x）＝－x2＋x－

C．f（x）＝1－10xD．f（x）＝ln（8x－2）

【解析】　依题意得g（）＝＋－2<

0，

g（）＝1>

0，∴x2∈（，）．若f（x）＝1－10x，

则有x1＝0，此时|x1－x2|>

，因此选C.

【答案】　C

经典作业：

1．（xx·

福建）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）．

A．（－1,1）

B．（－2,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析　由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：

判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故选C.

答案　C

2.（xx·

新课标全国）在下列区间中，函数f（x）＝ex＋4x－3的零点所在的区间为

（　　）．

A.B.

C.D.

解析　因为f＝e＋4×

－3＝e－2＜0，f＝e＋4×

－3＝e－1＞0，所以f（x）＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.

3.►（xx·

福建）函数f（x）＝的零点个数为（　　）．

A．3B．2C．7D．0

[审题视点]函数零点的个数⇔f（x）＝0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数．

解析　法一　由f（x）＝0得

或解得x＝－3，或x＝e2.

因此函数f（x）共有两个零点．

4.（xx·

天津文）函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1,0）

C．（0,1）D．（1,2）

[答案]　C

[解析]　解法一：

本题考查了函数的零点定理和导数．

∵f′（x）＝ex＋1>

0，∴函数f（x）＝ex＋x－2在R上单调递增，

又∵f（0）＝－1<

0，f

（1）＝e－1>

0，即f（0）f

（1）<

∴由零点定理知，该函数零点在区间（0,1）内．

5.（xx·

山东临沂）已知函数f（x）＝（x2－3x＋2）g（x）＋3x－4，其中g（x）是定义域为R的函数，则方程f（x）＝0在下面哪个范围内必有实数根（　　）

A．（0,1）　　B．（1,2）　　C．（2,3）　　D．（2,4）

[答案]　B

[解析]　∵f

（1）＝0×

g（x）－1<

0，f

（2）＝0×

g（x）＋2>

0，故在（1,2）上必有实根．

6.（xx·

浙江理）设函数f（x）＝4sin（2x＋1）－x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（　　）

A．[－4，－2]B．[－2,0]

C．[0,2]D．[2,4]

[答案]　A

[解析]　本题判断f（x）＝0在区间内是否成立，即4sin（2x＋1）＝x是否有解．如图：

显然在[2,4]内曲线y＝4sin（2x＋1），当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－<

4，有交点，故选A.

7.（xx·

山东济南）若方程x＝x的解为x0，则x0属于以下区间（　　）

A.B.

C.D．（1,2）

[解析]　构造函数f（x）＝x－x，易知该函数是R上的减函数．

又f＝－>

f