三湘名校教育联盟高三第三次大联考理科数学试题含答案优选Word格式.docx
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8.如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）
9.体育课的排球发球项目考试的规则是：
每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是（）
A．B．C.D．
10.一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是（）
A．13B．12C.11D．10
11.如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于，，，四点，，则的值为（）
A．B．1C.D．
12.已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（）
第Ⅱ卷：
非选择题（共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.已知正项等差数列的前项和为，，则的最大值为．
14.已知实数，满足，则的最小值为1，则．
15.以40向北偏东航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3后祈求上升到1处，从探测船上观察气球，仰角为，求气球的水平飘移速度是．
16.已知平面向量，满足，存在单位向量，使得，则的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数.
（1）若在上的值域为，求的取值范围；
（2）若在上单调，且，求的值.
18.为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：
与模型②：
作为产卵数和温度的回归方程建立两个变量之间的关系.
温度
20
22
24
26
28
30
32
产卵数/个
6
10
21
64
113
322
400
484
576
676
784
900
1024
1.79
2.30
3.04
3.18
4.16
4.73
5.77
692
80
3.57
1157.54
0.43
0.32
0.00012
其中，，，，
附：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，.
（1）在答题卡中分别画出关于的散点图、关于的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）.
（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立关于的回归方程；
并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.（与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：
，，）
（3）若模型①、②的相关指数计算得分分别为，，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
19.已知三棱台中，,，，平面平面，
（1）求证：
平面；
（2）点为上一点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
20.一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.
（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴的交点为，（在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：
动点恒在定直线上，并求的方程.
21.已知函数.
（1）若在定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得恒成立且有唯一零点，若存在，求出满足，的的值；
若不存在，请说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.
（1）求曲线与的交点的直角坐标；
（2）设点，分别为曲线，上的动点，求的最小值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）存在时，使得不等式成立，求实数的取值范围.
数学（理科）参考答案、提示及评分细则
1-5CDABB6-10DDBCB11、12：
DB
二、填空题
13.1614.115.2016.
三、解答题
17.解答：
.
（1）由，在上的值域为．
即最小值为，最大值为，则，得．
综上：
的取值范围是．
（2）由题意在上单调，得．
由，得或，，
或，，又，所以或；
当时，，在上单调递增，符合题意，
当时，，在上不单调，不符合题意，
．
18.解答
（1）画出关于的散点图，如图：
关于的散点图，如图．
根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型．
（2）对于模型①：
设，则，
其中，，
所以，
当时，估计温度为.
对于模型②：
，
其中，．
当时，估计温度为．
（3）因为，所以模型②的拟合效果更好．
19.
（1）延长，，交于点．
及棱台性质得，所以．
因为平面平面平面．
所以平面，平面，所以,
又，所以，，所以平面．
（2）由于，由知，，所以，且，
以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，．
设．
设平面的法向量为,
由，可取．
是平面的个法向量，
由二面角的大小为得：
所以为中点，，，
设与平面所成角为，则．
所以与平面所成角为正弦值为．
20.解
（1）由题意垂直平分，所以
所以的轨迹为以，为焦点、长轴长为的椭圆，焦距，所以，
所以动点的轨迹为曲线的方程是：
（2），，设的方程是，设，，，
由得，
所以，，.
因为在轴上方，∴，．
直线、的方程分别是：
，，
联立得：
∴动点恒在定直线：
上．
21.解
（1）由已知，函数的定义域为，
由在定义域上单调递减，则恒成立，
，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
即在内单调递增，内单调递减，
所以．
（2）当时，，∴恒成立，
当时，由
（1）知，在内单调递减，
（i）若，
由
（1）知，在内单调递减，
则，无零点，不符合题意;
（ii）若，
设，，
所以，又，
所以存在，使得，即，①
且当故当时，有，当时，有，
则在内单调递增，内单调递减，
由于恒成立，且有唯一零点，∴．②
结合①，②知，③
联立得
设，则，，
且当时，，所以在上有唯一零点．
即满足方程组③的唯一，且．
设，，所以在上单调递增，
即满足方程组③的，所以.
综上所述，存在即，使得恒成立且有唯一零点．
22.解答
（1）曲线：
，消去参数，得，．①
曲线：
，②
联立①②，消去可得：
或（舍去），
所以．
（2）曲线：
，是以为圆心，半径的圆.
设圆心为，点，到直线的距离分别为，，
则，，
所以的最小值为．
23.解答
（1）当时，，
∴在单调递减，在上单调递增，
∴时，取得最小值．
（2）
①当时，，符合题意：
②当时，，的解集为，
所以，从而，得，
③当时，，的解集为，
所以，从而或，得，
符合题意要求的实数的取值范围是．
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