高中数学第二章解析几何初步13两条直线的位置关系学案北师大版文档格式.docx
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梳理 垂直的判定
其中一条斜率不存在
|α2－α1|＝90°
α1＝0°
，α2＝90°
l1⊥l2⇔k1·
k2＝－1
l1斜率为________，l2斜率不存在
类型一 两条直线平行、垂直的判定
例1 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．
（1）l1：
3x＋5y－6＝0，l2：
6x＋10y＋3＝0；
（2）l1：
3x－6y＋14＝0，l2：
2x＋y－2＝0；
（3）l1：
x＝2，l2：
x＝4；
（4）l1：
y＝－3，l2：
x＝1.
反思与感悟
（1）已知直线方程判断两条直线平行或垂直的方法
（2）当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：
A2x＋B2y＋C2＝0.
①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）；
②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
跟踪训练1 判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．
（1）l1的斜率为1，l2经过点A（1,1），B（2,2）；
（2）l1经过点A（0,1），B（1,0），l2经过点M（－1,3），N（2,0）；
（3）l1的斜率为－10，l2经过点A（10,2），B（20,3）；
（4）l1经过点A（3,4），B（3,100），l2经过点M（－10,40），N（10,40）．
类型二 利用两直线平行、垂直求直线方程
例2 求直线l的方程．
（1）过点P（2，－1）且与直线l1：
3x－2y－6＝0平行；
（2）过点P（1，－1）且与直线l2：
2x＋3y＋1＝0垂直．
反思与感悟
（1）直线过定点P（x0，y0），可设点斜式y－y0＝k（x－x0）．
（2）知斜率k，设斜截式y＝kx＋.；
（3）与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0.
（4）与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.
跟踪训练2 若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程．
类型三 两条直线平行与垂直的综合应用
例3 已知直线l1：
（k－3）x＋（4－k）y＋1＝0与l2：
2（k－3）x－2y＋3＝0.
（1）若这两条直线垂直，求k的值；
（2）若这两条直线平行，求k的值．
反思与感悟 在利用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；
若不能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论．
跟踪训练3 若直线l1：
ax＋4y－2＝0，l2：
x＋ay＋1＝0，求：
a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2.
例4 已知四边形ABCD的顶点B（6，－1），C（5,2），D（1,2）．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
反思与感悟 该题目通过数形结合，排除了∠C为直角的可能性．也可通过计算kCD·
kBC＝0≠－1，说明∠C不可能为直角．
跟踪训练4 已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（1,0），C（3,2），求第四个顶点D的坐标．
1．若直线ax＋y＋1＝0与直线y＝3x－2平行，则实数a等于（ ）
A．－3B．－C．3D.
2．直线l1的倾斜角为30°
，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为（ ）
A.B．－C.D．－
3．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
4．经过点B（3,0）且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为________．
5．已知A（－4,3），B（2,5），C（6,3），D（－3,0）四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．
1．两直线平行或垂直的判定方法．
斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行
积为－1
2.与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c（c≠b）；
与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0（D≠C）．
3．设直线l1：
y＝k1x＋b1，直线l2：
y＝k2x＋b2.若l1⊥l2，则k1·
k2＝－1；
反之，若k1·
k2＝－1，则l1⊥l2；
已知两直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°
时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tanα1＝tanα2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°
时，k1与k2不存在．
思考2 一定有l1∥l2.因为k1＝k2⇒tanα1＝tanα2⇒α1＝α2⇒l1∥l2.
梳理 k1＝k2
知识点二
思考1 设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°
.
思考2 不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．
梳理 0
题型探究
例1 解
（1）l1：
y＝－x＋，
l2：
y＝－x－.
则k1＝－，b1＝，
k2＝－，b2＝－.
∵k1＝k2，b1≠b2，
∴l1∥l2.
y＝x＋，l2：
y＝－2x＋2.
则k1＝，k2＝－2，
∵k1·
k2＝－1，
∴l1⊥l2.
（3）∵直线l1，l2的斜率均不存在，且2≠4，
（4）∵直线l1的斜率k1＝0，直线l2斜率不存在，
跟踪训练1 解
（1）k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，
∴l1∥l2或l1与l2重合．
（2）k1＝＝－1，k2＝＝－1，
k1＝k2，数形结合知，l1∥l2.
（3）k1＝－10，k2＝＝，
k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
（4）l1的倾斜角为90°
，则l1⊥x轴；
k2＝＝0，则l2∥x轴．
例2 解
（1）方法一 由已知直线l1：
3x－2y－6＝0，得斜率k1＝，
∵已知直线l1与l平行，
∴直线l的斜率k＝k1＝.
由点斜式得直线l的方程为y＋1＝（x－2），
即3x－2y－8＝0.
方法二 由直线l与直线3x－2y－6＝0平行，可设直线l的方程为3x－2y＋C＝0（C≠－6），又点P（2，－1）在直线上，
∴3×
2－2×
（－1）＋C＝0，∴C＝－8.
故直线l的方程为3x－2y－8＝0.
（2）方法一 由直线l2：
2x＋3y＋1＝0，得斜率k2＝－，
∵直线l垂直于l2，
∴直线l的斜率k＝－＝，
直线l的点斜式方程为y＋1＝（x－1），
故l的方程为3x－2y－5＝0.
方法二 设与直线l2：
2x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为3x－2y＋C＝0.
将点P（1，－1）代入直线方程，
即3－2×
（－1）＋C＝0，得C＝－5.
∴所求直线的方程为3x－2y－5＝0.
跟踪训练2 解 设直线的方程为2x＋3y＋λ＝0（λ≠5），
令x＝0，则直线在y轴上的截距为b＝－；
令y＝0，则直线在x轴上的截距为a＝－，
由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，
所以所求直线l的方程为2x＋3y－1＝0.
例3 解
（1）根据题意，得（k－3）×
2（k－3）＋（4－k）×
（－2）＝0，
解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
（2）根据题意，得（k－3）×
（－2）－2（k－3）×
（4－k）＝0，
解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
跟踪训练3 解 将直线l1化成斜截式方程y＝－x＋，
当a＝0时，l2的方程为x＝－1，
l1的方程为y＝，此时l1⊥l2；
当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－.
若
即a＝2时，l1∥l2；
若－·
（－）＝－1，即＝－1，矛盾，
故l1与l2在a≠0时不垂直．
综上，当a＝2时，l1∥l2；
当a＝0时，
l1⊥l2.
例4 解 ①若∠A＝∠D＝90°
，如图
（1），由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A（1，－1）．
②若∠A＝∠B＝90°
，如图
（2）．
设A（a，b），则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.
由AD∥BC⇒kAD＝kBC，即＝－3；
①
由AB⊥BC⇒kAB·
kBC＝－1，即·
（－3）＝－1.②
解①②，得故A（，－）．
综上所述，A点坐标为（1，－1）或.
跟踪训练4 解 设第四个顶点D的坐标为（x，y），因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·
kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以解得
所以第四个顶点D的坐标为（2,3）．
当堂训练
1．A 2.B 3.y＝－3x＋2
4．x－2y－3＝0
5．解 由题意知，A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB＝＝，
kCD＝＝，
kAD＝＝－3，
kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知，AB与CD不重合，
所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·
kAD＝×
（－3）＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
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