二次函数中考(平行四边形)含答案.doc
《二次函数中考(平行四边形)含答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数中考(平行四边形)含答案.doc（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
二次函数（平行四边形）
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？
解答：
解：
（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，
把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：
y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴=，即：
=，
∴DE=4．
（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），
∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），
∴x=2m，y=﹣m2+m+4，
∴y=﹣•++4，
∴所求函数的解析式为：
y=﹣x2+x+4，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：
（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，
把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：
﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4，
解得：
m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：
（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，
把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：
m+4=﹣m2+m+4，
解得：
m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，
综上所述：
m的值为8或﹣8．
【例二】已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一交点为B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
A
A
B
B
O
O
x
x
y
y
图①
图②
（3）连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
【例三】（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？
若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
解答：
解：
（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，
∴1=×9+3b﹣2，解得：
b=﹣．
∴抛物线的解析式为：
y=x2﹣x﹣2．
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：
AB=．
∴S△ABC=AB2=．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴，
解得k=﹣，b=2，
∴y=﹣x+2．
同理求得直线AC的解析式为：
y=x﹣．
如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．
△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：
S△CEF=S△ABC，
即：
EF•h=S△ABC，
∴（﹣x）•（3﹣x）=×，
整理得：
（3﹣x）2=3，
解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
（3）存在．
如答图2所示，
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．
过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH﹣OA=2，
∴P（﹣2，1）．
抛物线解析式为：
y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．
【例四】（2013•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将
（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）
解答：
解：
（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，
∴，
解得a=﹣1，b=2，
∴抛物线的解析式为：
y=﹣x2+2x+3．
（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：
，
解得k=﹣1，b=3，
∴y=﹣x+3．
设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），
∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF=OD=2，
∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．
（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与▱ODEF对称中心的直线平分▱ODEF的面积．
①当P（1，0）时，
点F坐标为（1，2），又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则G（，2）．
设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（，2）坐标代入得：
，
解得k=b=，
∴所求直线的解析式为：
y=x+；
②当P（2，0）时，
点F坐标为（2，1），又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则G（1，）．
设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（1，）坐标代入得：
，
解得k=b=，
∴所求直线的解析式为：
y=x+．
综上所述，所求直线的解析式为：
y=x+或y=x+．
【例六】如图，抛物线经过三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？
若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.
x
y
A
O
C
B
（第26题图）
解析：
解：
（1）设抛物线的解析式为，
x
y
A
O
C
B
（第26题图）
P
N
M
H
根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为：
………（3分）
（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求.
设直线BC的解析式为，
由题意，得解得
∴直线BC的解析式为…………（6分）
∵抛物线的对称轴是，
∴当时，
∴点P的坐标是.…………（7分）
（3）存在…………………………（8分）
（i）当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为，∴点N的坐标为………………………（11分）
（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，∵四边形是平行四边形，∴,
∴Rt△CAO≌Rt△,∴.
∵点C的坐标为,即N点的纵坐标为，
∴即
解得
∴点的坐标为和.
综上所述，满足题目条件的点N共有三个，
分别为，，………………………（13分）
第9页共9页
升级会员 