人教A版数学必修22 第1章 151 曲边梯形的面积152 汽车行驶的路程Word文件下载.docx
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④取极限:
当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个________,即为曲边梯形的面积.
① ②
图151
【答案】 1.连续不断 2.
(1)所围成的图形
(2)小曲边梯形 以直代曲 矩形 近似值 求和 定值
1.在求由抛物线y=x2+6与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积时,把区间[1,2]等分成n个区间,则第i区间为________.
【解析】 将区间[1,2]等分成n个小区间,则每个小区间的长度为
,
则分点为x0=1,x1=1+
x2=1+
,…,xi-1=1+
xi=1+
xi+1=1+
则第i个小区间为[xi-1,xi],即
.
【答案】
2.函数f(x)=
(x∈[1,5])________连续函数.(填“是”或“不是”)
【解析】 根据函数的图象及连续函数的定义知,函数f(x)是连续函数.
【答案】 是
3.将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点,第三个区间是________.
【解析】 将区间[1,3]进行10等分,需插入9个分点,每个小区间的长度为0.2,则分点为x0=1,x1=1+0.2=1.2,x2=1.4,x3=1.6,……,从而第三个区间是[1.4,1.6].
【答案】 9 [1.4,1.6]
教材整理2 汽车行驶的路程
阅读教材P42~P44,完成下列内容.如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么它在时间t所在的区间[a,b]内的路程(或位移)也可以运用①______;
②________;
③______;
④________的方法求得.
【答案】 分割 近似代替 求和 取极限
判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)求汽车行驶的路程时,分割的区间表示汽车行驶的路程.( )
(2)当n很大时,函数f(x)在区间
上的值,可以用f
代替.( )
(3)mi=i2,
i=30.( )
【答案】
(1)×
(2)√ (3)√
[小组合作型]
求曲边梯形的面积
求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形面积.
【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解.
【自主解答】
(1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形,用分点
,…,
把区间[0,1]等分成n个小区间:
简写作
(i=1,2,…,n).
每个小区间的长度为Δx=
-
=
.过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作:
ΔS1,ΔS2,…,ΔSi,…,ΔSn.
(2)近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积,在小区间
上任取一点ξi(i=1,2,…,n),为了计算方便,取ξi为小区间的左端点,用f(ξi)的相反数-f(ξi)=-
为其一边长,以小区间长度Δx=
为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积,可以近似地表示为
ΔSi≈-f(ξi)Δx=-
·
(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值,所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值,即
S=
Si≈-
(ξi)Δx
=-
[02+12+22+…+(n-1)2]+
[0+1+2+…+(n-1)]
n(n-1)(2n-1)+
(4)取极限
当分割无限变细,即Δx趋向于0时,n趋向于∞,
此时-
趋向于S.从而有
所以由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形面积为
由极限法求曲边梯形的面积的步骤
第一步:
分割.在区间[a,b]中等间隔地插入n-1个分点,将其等分成n个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n),小区间的长度Δxi=xi-xi-1.
第二步:
近似代替.“以直代曲”,用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出小曲边梯形面积的近似值.
第三步:
求和.将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
第四步:
取极限.当n→∞时,Sn→S,S即为所求.
[再练一题]
1.求由直线x=1,x=2,y=0及曲线y=
围成的图形的面积S.
【解】
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:
记第i个区间为
(i=1,2,…,n),其长度为Δx=
分别过上述n-1个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图),它们的面积分别记作:
ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,则小曲边梯形面积的和为S=
Si,
记f(x)=
.当n很大,即Δx很小时,在区间
上,可以认为f(x)=
的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它等于f
从图形上看,就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间
上,用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范围内“以直代曲”,则有ΔSi≈ΔSi′=f
Δx
小曲边梯形的面积和Sn=
Si≈
Si′=
+
+…+
=n
从而得到S的近似值S≈Sn=
分别将区间[1,2]等分成8,16,20,…等份时,Sn越来越趋向于S,从而有S=
Sn=
所以由直线x=1,x=2,y=0及曲线y=
围成的图形的面积S为
求变速运动的路程
汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t的路程s=vt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度v(t)=-t2+5(单位:
km/h),问它在0≤t≤2(单位:
h)这段时间内的路程s(单位:
km)是多少?
【精彩点拨】 把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决.
在区间[0,2]上等间隔地插入n-1个点,将区间等分成n个小区间:
(i=1,2,…,n),
其长度为Δt=
把汽车在上述时间段内行驶的路程分别记作:
Δs1,Δs2,…,Δsn,显然,s=
si.
当n很大,即Δt很小时,在区间
上,函数v(t)=-t2+5的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于右端点处的函数值v
+5.在每一个小时间段内“以匀速代变速”,则有Δsi≈Δs′i=v
Δt
(i=1,2,…,n). (*)
由(*)得,sn=
s′i=
2+10
+10
+10.
从而得到路程s的近似值s≈sn=-
可以看到,当n趋向于无穷大,即Δt趋向于0时,
sn=-
+10趋向于S,从而有
s=
sn=
+10=
求变速直线运动路程的方法
求变速直线运动路程的问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为:
分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
2.用定积分定义求物体自由落体的下落距离.已知自由落体的运动速度v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离.
【解】
(1)分割:
将时间区间[0,t]分成n等份.
把时间[0,t]分成n个小区间
每个小区间表示的时间段Δt=
t=
,在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i=1,2,…,n).
(2)近似代替:
在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程.
在
上任取一时刻ξi(i=1,2,…,n),可取ξi使v(ξi)=g
t近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体Δt=
内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·
t·
(3)求和:
si
gt2
(4)取极限:
gt2.
[探究共研型]
曲面梯形的面积与汽车行驶的路程的共性
探究1 求曲边梯形面积时,能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢?
怎样才能减小误差?
【提示】 不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”,否则误差太大,为了减小近似代替的误差,需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”,而且分割的曲边梯形数目越多,得到面积的误差越小.
探究2 求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点?
【提示】
(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
(2)求解的方法步骤相同
将区间[a,b]n等分;
取点ξi∈[xi-1,xi];
(ξi)Δx;
(ξi)Δx=
f(ξi).
求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>
0),y=0所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成n个小区间,则第i-1个区间为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 每个小区间长度为
,故第i-1个区间的左端点为0+(i-2)×
,右端点为
【答案】 D
3.求由抛物线f(x)=x2,直线x=1以及x轴所围成的平面图形的面积时,若将区间[0,1]5等分,如图152所示,以小区间中点的纵坐标为高,所有小矩形的面积之和为__________.
【导学号:
62952041】
图152
【解析】 由题意得
S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×
0.2=0.33.
【答案】 0.33
1.在“近似代替”中,函数f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值( )
A.只能是左端点的函数值f(xi)
B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一