秋季学期新人教A版高中必修一121函数的概念导学案Word文档格式.docx

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（3）f（x）与f（a）有何区别与联系？

答　

（1）符号“y＝f（x）”中“f”表示对应关系，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样.例如y＝f（x）＝x2中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的平方，从而f（a）＝a2，f（x＋1）＝（x＋1）2，而函数y＝f（x）＝2x中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的二倍，从而f（a）＝2a，f（x＋1）＝2（x＋1）.

（2）这种看法不对.

符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；

f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；

y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f（x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f（x）外，还常用g（x），F（x），G（x）等来表示函数.

（3）f（x）与f（a）的区别与联系：

f（a）表示当x＝a时，函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×

8＋4＝28是一个常数.

知识点三　函数相等

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.

思考　函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t相等吗？

答　相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数的对应关系也相同，因此这两个函数相等.函数相等与否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示.

知识点四　区间概念

区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a，b]

{x|a<

x<

b}

开区间

（a，b）

{x|a≤x<

半闭半开区间

[a，b）

x≤b}

半开半闭区间

（a，b]

{x|x≥a}

[a，＋∞）

{x|x>

a}

（a，＋∞）

{x|x≤a}

（－∞，a]

{x|x<

（－∞，a）

R

（－∞，＋∞）

取遍数轴上所有的值

思考　

（1）对于区间[a，b]而言，区间端点a，b应满足什么关系？

（2）区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？

（3）“∞”是数吗？

如何正确使用“∞”？

答　

（1）若a，b为区间的左右端点，则a<

b.

（2）不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.

（3）“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.

题型一　函数概念的应用

例1　设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案　B

解析　①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.

反思与感悟　1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：

（1）A，B必须都是非空数集；

（2）A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.

注意：

A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.

2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.

跟踪训练1　下列对应关系式中是A到B的函数的是（　　）

A.A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1

B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：

x→y＝|x|＋1

C.A＝R，B＝R，f：

x→y＝

D.A＝Z，B＝Z，f：

解析　对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±

，显然对任意x∈A，y值不唯一，故不符合.对于B，符合函数的定义.对于C,2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.

题型二　判断是否为同一函数

例2　判断下列函数是否为同一函数：

（1）f（x）＝

与g（x）＝

（2）f（x）＝

；

（3）f（x）＝x2－2x－1与g（t）＝t2－2t－1；

（4）f（x）＝1与g（x）＝x0（x≠0）.

解　

（1）f（x）的定义域中不含有元素0，而g（x）的定义域为R，定义域不相同，所以二者不是同一函数.

（2）f（x）的定义域为[0，＋∞），而g（x）的定义域为（－∞，－1]∪[0，＋∞），定义域不相同，所以二者不是同一函数.

（3）尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数.

（4）f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，因此二者不是同一函数.

反思与感悟　判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.

（1）定义域和对应关系都相同，则两个函数相同；

（2）定义域不同，则两个函数不同；

（3）对应关系不同，则两个函数不同；

（4）即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定相同，例如y＝x和y＝2x－1的定义域和值域都是R，但不是同一函数；

（5）两个函数是否相同，与自变量用什么字母表示无关.

跟踪训练2　下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A.y＝x＋1与y＝

B.y＝x2与y＝（x＋1）2

C.y＝（

）3与y＝x

D.f（x）＝（

）2与g（x）＝

答案　C

题型三　求函数的定义域

例3　求下列函数的定义域：

（1）y＝

－

（2）y＝

.

解　

（1）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

即

所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.

（2）要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，

∴x＜0.

∴函数的定义域为{x|x＜0}.

反思与感悟　1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：

（1）负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；

（2）分式中分母不能为0；

（3）零次幂的底数不为0；

（4）如果f（x）由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；

（5）如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.

2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

跟踪训练3　求下列函数的定义域：

＋

解　

（1）由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.

又x＋2>

0，x>

－2，所以x>

－2且x≠－1.

所以函数y＝

的定义域为{x|x>

－2，且x≠－1}.

（2）要使函数有意义，需

解得－

≤x<

2，且x≠0，

的定义域为

题型四　求函数值

例4　已知f（x）＝

（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R）.

（1）求f

（2），g

（2）的值；

（2）求f[g（3）]的值.

解　

（1）∵f（x）＝

，∴f

（2）＝

＝

又∵g（x）＝x2＋2，

∴g

（2）＝22＋2＝6.

（2）∵g（3）＝32＋2＝11，

∴f[g（3）]＝f（11）＝

反思与感悟　求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g（x）]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g（x）]与g[f（x）]的区别.

跟踪训练4　已知函数f（x）＝

（1）求f

（2）；

（2）求f[f

（1）].

（2）f

（1）＝

，f[f

（1）]＝f

抽象函数定义域理解错误致误

例5　已知函数f（3x＋1）的定义域为[1,7]，求函数f（x）的定义域.

错解　因为f（3x＋1）的定义域为[1,7]，

即1≤3x＋1≤7，解得0≤x≤2，

所以f（x）的定义域为[0,2].

正解　令3x＋1＝t，则4≤t≤22，

即f（t）中，t∈[4,22]，

故f（x）的定义域为[4,22].

易错警示

错误原因

纠错心得

对定义域是自变量x的取值范围理解错误.

（1）已知f（x）的定义域为A，求f[φ（x）]的定义域，其实质是已知φ（x）的取值范围为A，求x的取值范围.

（2）已知f[φ（x）]的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f[φ（x）]中x的取值范围为B，求φ（x）的取值范围（值域），此范围就是f（x）的定义域.若不能正确理解φ（x）与x的关系将导致错误.

跟踪训练5　若f（x）的定义域为[－3,5]，求φ（x）＝f（－x）＋f（x）的定义域.

解　由f（x）的定义域为[－3,5]，得φ（x）的定义域需满足

解得－3≤x≤3.

所以函数φ（x）的定义域为[－3,3].

1.下列图象中能表示函数y＝f（x）图象的是（　　）

解析　由函数的概念知答案为B.

2.下列各组函数中表示同一函数的是（　　）

A.f（x）＝x与g（x）＝（

）2

B.f（x）＝|x|与g（x）＝x（x>

0）

C.f（x）＝2x－1与g（x）＝2x＋1（x∈N*）

D.f（x）＝

与g（x）＝x＋1（x≠1）

答案　D

解析　选项A，B，C中两个函数的定义域均不相同，

故选D.

3.函数f（x）＝

的定义域为________.

答案　{x|x≥－1且x≠2}

解析　由

，得x≥－1且x≠2.

4.函数f（x）对任意自然数x满足f（x＋1）＝f（x）＋1，f（0）＝1，则f（5）＝________.

答案　6

解析　f

（1）＝f（0）＋1＝1＋1＝2，f

（2）＝f

（1）＋1＝3，

f（3）＝f

（2）＋1＝4，f（4）＝f（3