实数的相关概念Word文档格式.docx
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,即
那么这个正数
叫做
的算术平方根.（记作
）.
（2）一个数的平方等于
那么这个数叫做
的平方根.
（3）正数有两个平方根（±
），它们互为相反数；
其中正的平方根（
≥0）是它的算术平方根.
（4）“0”的平方根只有一个，就是“0”;
负数没有平方根.
（5）完全平方数
平方根是整数的数
0，1，4，9，16，……
（6）立方根（
）,正数的立方根是正数;
“0”的立方根是“0”;
负数的立方根是负数
二、数轴:
1.数轴三要素：
原点、正方向、单位长度
2.数轴上的点与实数一一对应;
任意一个有理数在数轴上都有一个点与之对应,但数轴上的任意一个点不一定有一个有理数与之对应.（无理数点）
三、科学记数法、近似数及有效数字：
1．科学记数法：
精确度：
（1）保留几位有效数字；
（2）精确到那一位
2．近似数：
用四舍五入精确到某一位的数
3．有效数字：
四、实数的运算：
1.实数运算法则：
2.实数大小的比较
①利用数轴进行比较；
②作差法；
③作商法；
④平方法.
3.除法
4.乘方
典型例题一
例01．下面命题中，正确的是（）
A．不带根号的数一定是有理数
B．有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数
C．任何实数的绝对值都是正数
D．无理数一定是无限小数
分析圆周率
是不带根号的数，但它是无限不循环小数，所以它是无理数，可见命题A不正确.实际上，可以写出很多不带根号的无理数，如0.101001000100001……就是一个无理数；
不存在最大的正数（对任何正数a，都不如
大），导致不存在绝对值最大的数，所以B是假命题；
实数0的绝对值不是正数，可见命题C也不正确.
解答D
说明考查实数的意义.
典型例题二
例02．下列说法中正确的是（）
A．无理数是开方开不尽的数
B．无限小数不能化成分数
C．无限不循环小数是无理数
D．一个负数的立方根是无理数
分析实数可分为无理数和有理数.有限小数和无限循环小数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数.开方开不尽的数一定是无理数，但无理数还包含了其他数，如
，任何有理数都枳经成分数形成.所以A、B、D都是错的.C正确.
解答C
说明考查实数的分类及定义
无理数主要有3种表现形式：
①开方开不尽的数；
②一些常数，如
、e等；
③无限不循环小数，如0.1010010001…
典型例题三
例03．实数
，
，3.1416，
，0.2020020002……（每两个2之间多一个零）中，无理数的个数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
分析其中无理数有：
，0.202002…
解答B
说明考查无理数的定义
及
有关的数都是无理数.
典型例题四
例04．点A在数轴上和原点相距
个单位，点B在数轴上和原点相距2个单位，则A，B两点间的距离是______.
分析在数轴上和原点相距
个单位的点A有两个，即
和
两个点.点B和原点相距2个单位，则点B的坐标
或
.如图所示.
所示A、B两点间距离是：
.
故
解答
说明点A在数轴上的坐标为
，点B的坐标
，则A，B两点的距离是
典型例题五
例05．若实数a和b互为相反数，则
；
若实数a，b互为倒数，则
分析因为a、b互为相反数，则
.若
互为倒数，则
.又因
解答0；
1；
典型例题六
例06．判断下列说法是否正确，并简单说明理由
（1）实数不是有理数就是无理数.
（2）无理数都是无限小数.
（3）有理数都是有限小数.
（4）不带根号的数都是有理数.
（5）带根号的数都是无理数.
（6）数轴上的任何一点都可以表示实数.
解答
（1）实数不是有理数就是无理数.正确.因为实数就是由有理数和无理数组成的，二者必居其一.
（2）无理数都是无限小数.正确.无理数都是无限不循环小数当然都是无限小数.
（3）有理数都是有限小数.不正确.有理数中也有无限小数，例如
是有理数，但它却是
，是无限循环小数.
（4）不带根号的数都是有理数.不正确.
这个数不带根号，我们都知道它是无理数.
（5）带根号的数都是无理数.不正确.
是一个带根号的数，可是它是一个有理数.
（6）数轴上的任何一点.都可以表示实数.正确.数轴上的点与实数是一一对应的.
说明有理数和无理数统称为实数，无限不循环小数是无理数，有了无理数才使数轴上的点与实数一一对应，这些是我们判断某些说法是否正确的依据.
不要去试图确立无理数的其他定义或标准，只有紧扣无限不循环小数是无理数这个定义，才能避免错误.
典型例题七
例07．计算（精确到0.01）
（1）
（2）
解答
（1）原式
（2）原式
说明在实数运算中，有理数中的运算法则和运算定律同样适用，在无理数运算中，常用其近似值去代替无理数.
典型例题八
例08．化简
解答∵
∴
说明关键在于根据绝对值的定义，正确地去掉绝对值的符号，以便进行运算，运算中还要注意防止发生符号错误.
典型例题九
例09．比较
与
的大小.
分析若
，则
若
，反之亦然.
当
时，显然，
，即
时，
时，
综上，当
时
典型例题十
例10．设x，y是有理数，并且x，y满足等式
，求
的值.
分析利用实数等于零的条件，即有理数和无理数部分分别是零.
∴
又∵x，y都是有理数.
都是有理数.
而由于0是有理数，
必为有理数.
∴
∴当
典型例题十一
例11．怎样运用作图的方法，在数轴上找出表示
的点.
分析我们可以借助勾股定理来找出表示
的线段长.如果一个直角三角形的两条直角边长分别是1和和，那么它的斜边长就是
解答如图，作一个直解边分别是3和1的直角三角形，以原点O为圆心，三角形斜边长为半径画弧，它与数轴负半轴的交点C即为表示
的点.（
）
说明这个直角三角形也可以作在其他地方，但必须使它1个单位长度与数轴所取的单位长度一致.另外与学习有理数时相同数轴上原点右边的点表示正数，故
在原点左边.
典型例题十二
例12．化简下列各式
（3）
（4）
解答
（1）∵
（2）
（4）∵
∴原式=
说明要化简带绝对值符号的式子，首先按绝对值定义，将绝对值符号去掉，再去括号，合并同类项，或进行数的运算.
典型例题十三
例13．下列说法是否正确？
为什么？
（1）无限小数都是无理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）有理数都是有限小数；
（4）不带根号的数都是有理数；
（5）实数与数轴上的点一一对应；
（6）实数有正实数与负实数两种．
解答：
（1）不正确，因为只有无限不循环小数方是无理数，而无限循环小数是有理数，如
是有理数
（2）正确，因为无理数是无限不循环小数；
（3）不正确，因为无限循环小数是有理数，因此有理数不一定是有限小数，如
（4）不正确，如
不带号，但
是无理数；
（5）正确，因为每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示．
（6）不正确，因为实数除了有正实数和负实数外，还包括0．
说明：
要理解无理数、实数的概念，掌握实数的分类，分类要有统一标准，分类后不漏不多.
典型例题十四
例14．下列各数中，哪些是有理数？
哪些是无理数？
0.5，
，3.14，
，0．
分析：
判定一个数是不是无理数，不能只看它的形式，还要看算出的结果，应先将含有根号的数化简，然后再根据无理数的定义进行判断．
∵
∴有理数有：
0.5，3.14，
，0；
无理数有：
．
典型例题十五
例15．计算：
（精确到0.01）；
（保留三个有效数字）．
近似值的计算过程中，所取近似值的小数位，必须比题目要求的精确度多取一位进行计算，最后结果按题目要求取近似值．
典型例题十六
例16．比较下列数的大小：
和3.1415；
比较大小首先判断数的正负，再比较数的绝对值的大小.
，
，而
比较无理数和有理数的大小，一种是将无理数转化为近似值的有理数比较，另一种采用算术平方根的比较法，即被开方数间比较大小.
典型例题十七
例17．求下列各式的x：
根据绝对值的概念：
正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，把绝对值符号内的数看作整体求解.
即
选择题
1．选择题
（1）下列说法正确是
A．无限小数都是无理数B．带根号的数是无理数
C．无理数是无限小数D．无理数是开不尽方的数
（2）和数轴上的点一一对应的数集是
A．整数集B．有理数集
C．无理数集D．实数集
这六个数中，无理数的个数是
A．2个B．3个C．4个D．6个
（4）下面关于0的判断正确的是
A．0是小数B．0是整数
C．0是无理数D．0是质数
（5）实数中算术平方根最小的数是
A．1B．0C．非负数D．不存在
2．选择题
（1）若
有算术平方根，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．一切实数
（2）根式
有意义，
A．一切实数B．
D．
（3）下列语句中正确的是
A．带根号的数都是无理数
B．不带根号的数一定是有理数
C．无理数一定是无限不循环小数
D．无限小数是无理数
（4）
是有理整数，
是
A．有理数B．负的实数
C．完全平方数D．完全平方数的相反数
（5）实数
的平方的算术平方根是
C．
（6）下面式子成立的是
3．选择题
与它的绝对
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