关于葡萄酒问题的数学建模文档格式.docx

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根据记录的数据，通过数学模型完成如下问题：

问题一：

分析附件1中两组评酒员的评价结果有无明显差异，如果有差异，进一步讨论哪一组结果更可信。

问题二：

根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量的对应关系，对这些酿酒葡萄进行分级。

问题三：

根据不同酒样分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

问题四：

分别分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。

并以此判断能否利用酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标判断葡萄酒的好坏。

二、问题分析

针对问题一，为比较分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，需先分别求出每组中各葡萄酒质量的平均值。

再将所求的第一组红葡萄酒质量的平均值与第二组红葡萄酒质量的平均值、第一组白葡萄酒质量的平均值与第二组白葡萄酒质量的平均值分别进行T检验，进而可确定两组评酒员的评价结果是否存在显著差异。

确定哪一组结果更可信问题。

由于影响各葡萄酒评分大小的因素主要有评酒员打分差异与葡萄酒自身质量。

根据实际可知可信度越高的组别，其打分与评酒员的相关关系越小，故以评酒员编号与该评酒员所打分数做为变量，可建立典型相关分析模型。

然后根据模型计算出每组评酒员编号与所得分的相关系数，判断其可信度。

针对问题二，由于酿酒葡萄的分级与其自身各项理化指标的大小有关，而酿酒葡萄中各项理化指标大小对酿酒葡萄的影响会在葡萄酒质量的好坏中体现，所以本文将根据葡萄酒质量的好坏来判断酿酒葡萄中各理化指标的大小，而后以葡萄中对葡萄影响较大的理化指标为酿酒葡萄分级的依据。

用问题一中更可信一组的评分对葡萄酒的质量进行排序，得出排序向量，对酿酒葡萄各理化指标进行排序得到排序矩阵，用排序向量和排序矩阵各列的点乘值表示相似度，相似度越高则该理化指标对酿酒葡萄的影响越大。

将按照相似度的大小对酿酒葡萄受各项理化指标的影响程度进行排序，选出排在前面5个理化指标作为酿酒葡萄分级的依据，从而进行分级。

针对问题三，由于酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标的量纲不同，所以为讨论酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，需将原始表格中各数据转化为无量纲，进而得到一组新数据表，再运用最短距离法将新葡萄酒数据表中每一组数据与新酿酒葡萄的数据求差的平方和，平方和越小，两组数据近似度大，进而将得到一个关于差平方和的

阶矩阵

，对矩阵中每一列按从大到小进行排序，取前五行数据进行拟合，建立非线性回归模型，从而可确定酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

针对问题四，酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响,可先将酿酒葡萄、葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量无量纲化，可利用SPSS软件，对酿酒葡萄和葡萄酒的各项理化指标与葡萄酒质量进行T检验，可进一步分析与葡萄酒质量存在显著性差异的理化指标数目。

从而确定根据酿酒葡萄与葡萄酒是否能判断葡萄酒质量。

三、基本假设

1．假设葡萄酒的质量基本服从正态分布；

2．原始数据真实可靠；

3．未被测量出来的指标对葡萄酒质量的影响忽略不计。

四、符号表示

符号表示

符号说明

第一组样本数据的平均数

第二组样本数据的平均数

第一组样本方差

第二组样本方差

评酒员的编号

分数

相关矩阵的特征根

第

组数据与第

组数据的方差和

拟合过程的随机误差

五、模型建立与求解

葡萄酒评价结果受多方面因素影响，葡萄酒的质量与原材料酿酒葡萄有直接影响，酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标确定着葡萄酒的质量，以及影响葡萄酒最终评价结果的因素是多方面，现就针对酿酒葡萄好坏与葡萄酒质量以及酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标之间的关系，来讨论题目中的四个问题。

5.1两组评酒员评价的选择

首先分析两组评酒员的评价结果有无显著差异，再进行可信度分析，选可信度高的一组为葡萄酒质量的评判标准。

5.1.1分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异

为分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异，本文首先运用EXCEL求得每组中各红葡萄酒的平均分（见附录一）以及白葡萄酒的平均分（见附录一），而后运用T检验方法进行双重比较。

这种方法为比较第一组与第二组平均数，即检验

方法采用配对样本均值T检验

由于本题中两组数据来自于相同样本，所以，

。

再利用SPSS软件对问题进行求解得到如下数据结果：

表一附件1中各表成对样本统计量

成对样本统计量

均值

N

标准差

均值的标准误差

对1

一组红

73.1967

30

7.46216

1.36240

二组红

70.7067

3.89331

0.71082

对2

一组白

74.4129

31

4.83175

0.86781

二组白

76.4452

3.06005

0.54960

表二附件1中各表成对样本相关系数

成对样本相关系数

相关系数

Sig

一组红&

0.715

一组白&

0.239

0.196

表三附件1中各表成对样本检验

成对样本检验

成对差分

t

df

差分的95%置信区间

下限

上限

组一红——组二红

2.4900

5.41335

0.98834

0.46862

4.51138

2.519

29

0.018

组一白——组二白

-2.0322

5.06421

0.90956

-3.8898

-0.17469

-2.234

0.033

在T检验中，当

大于等于0.05时，即

，两者间无显著性差异；

反之，当

小于0.05时，即

，两者间有明显的显著性差异。

由表三的数据可知，第一组红葡萄酒与第二组红葡萄酒之间的样本检验结果

，故针对第一组红葡萄酒与第二组的红葡萄酒，两组评酒员的评价结果有显著性差异。

第一组白葡萄酒与第二组白葡萄酒之间的检验结果的

，故针对第一组白葡萄酒与第二组白葡萄酒评分过程中，两组评酒员的评价结果仍有显著性差异。

5.1.2确定哪一组结果更可信问题

在大量的实际问题中，葡萄酒样品的得分与该葡萄酒的质量、评分员的自身因素有关。

判断可信度可转化为判断评分与评分人的相关系数大小。

将27种葡萄酒样品看成27次观测，由葡萄酒的得分与评分员编号作为变量，建立典型相关分析模型：

设有两组变量

和

，分别进行了

次观测，构成样本矩阵（

）：

（1）

其中，

首先，将样本数据的元素进行标准化处理，利用离差标准化后所得内积为相关系数得相关矩阵

再由分块矩阵，得到矩阵乘积：

，而后又可得到特征方程，进而求得特征向量，此时的特征向量即为所求的典型相关系数，对典型相关系数的检验本文采用

检验法进行显著性检验，从而选出有应用意义的相关系数。

相关系数越小，评分越公平，可信度越高。

本题以第一组红葡萄酒为例进行求解：

将原始数据记为矩阵形式，标准化之后计算出相关矩阵。

根据相关矩阵

得出特征根

（

）。

利用

检验法进行显著性检验，方法是求其

的最大值，进而确定与

最大值对应的特征根。

下表表四中给出针对

，其中

.

对第

个典型相关系数

进行显著性检验时，先假设

：

=0，令：

在

的情况下，统计数

如果

通过了显著性检验，则表明第

显著，或称为第

对典型变量

有显著相关[1]。

运用MATLAB求出对应的

（见下表四）。

表四第一组红葡萄酒的显著性检验

0.0560

0.1374

0.2370

0.3094

0.4588

0.5068

0.6510

0.4189

0.4202

0.4283

0.4538

0.5019

0.6357

0.8553

31.7595

30.7794

29.2536

26.4683

22.4040

14.2704

4.7672

0、9256

1.1605

5.5575

1.4842

10.3643

29.8856

11.6488

66.6435

93.4279

由表四可知，

最大值为93.4279时，对应

的值。

同理可以利用相同的办法，分别求第一组白葡萄酒，第二组红葡萄酒以及白葡萄酒当

取的值最大时，所对应的

值。

通过求解得到第一组白葡萄酒

=66.6751，

；

第二组红葡萄酒

=82.7456，

第二组白葡萄酒

=65.7723，

对于同一颜色的葡萄酒，

值越大，说明显著性差异越大，可信度越低，综上所述，第二组的评分较第一组更可信。

5.2酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒质量对酿酒葡萄分级。

本文将先对葡萄酒的质量依照问题一中更可信的一组的评分进行从大到小排序，由第一问的结果知第二组的评分更可信，所以本题将采用第二组的数据（见题目附录一）作为原始数据来对酿酒葡萄进行分级。

设有向量

，

表示第二组红葡萄酒评分的平均值按从大到小以此排列，

表示酿酒葡萄中各成分依次排列，

葡萄酒质量与酿酒葡萄中各个理化指