细长杆弹性线模型的发展历史资料Word文档格式.docx

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本文主要从平面弹性线、空间弹性线以及弹性线与其它物理现象的比拟等角度对其发展历史加以介绍。

弹性线的历史发展也使我们了解到数学力学与工程技术在解决实际问题时是如何紧密结合的。

关键词：

细长杆，平面弹性线，空间弹性线，力学家，相似系统

中图分类号：

N91

文献标识码：

A

TheHistoryofelasticamodelontheslenderrod

LiuJianlin

（DepartmentofEngineeringMechanics,ChinaUniversityofPetroleum,Qingdao266580）

Abstract:

Theelasticamodelofslenderrodsexistswidelyinnatureandengineeringapplications,suchassubmarinecables,highvoltagetransmissionlines,compliantropes,springs,drillingrodsandoilsuctionrodsinpetroleumengineering,nano-fibersandnano-tubes,DNAandhighpolymers,stemsinclimbingplants.Itismorechallengingtoanalyzethedeformationoftheelasticaofslenderrods,fortherodsarenormallyaccompaniedbystronggeometrynonlinearity.Thehistoryofelasticaprovesreallydramatic.Ithaslastedalmost8centuriestodate,andtherewerealotofdistinguishedscientistsinvolvinginthisproblem,fromtheviewpointsofmathematics,mechanicsandexperiments,etc.Inthispaper,thehistoryofelasticaisintroducedspanningfromplanarelastica,spatialelastica,toanalogiesbetweenelasticaandsomeotherphysicalphenomena.Thehistoryofelasticacanhelpusunderstandhowmathematicsandmechanicsarecloselycombinedwithengineeringtechnologiesinfaceofengineeringapplications.

Keywords:

Slenderrod,plantarelastica,spatialelastica,scholarofmechanics,analogoussystem

细长弹性杆（slender&

elasticrod）模型广泛存在于自然界和工程实际中。

例如海底电缆、高压输电线、柔性绳索、弹簧、石油工程中的钻杆和抽油杆、纳米纤维和纳米管、DNA和大分子聚合物（图1）、攀缘类植物的茎（图2）等，都可以简化成细长弹性杆的模型来进行力学分析[1]。

这种三维模型的一个显著特点就是，一个方向上的尺寸远大于其他两个方向的尺寸。

在外力作用下，细长杆容易发生弯曲、剪切、扭转甚至打结等复杂的变形。

因而细长弹性杆的变形具有独特的力学特点，因为它往往伴随着结构很强的几何非线性。

图1绕在杆上的牵牛花的茎呈现螺旋状

图2DNA的双螺旋结构

在力学上，细长弹性杆的形貌往往被称为“弹性线（elastica）”，这个单词实际上来源于拉丁文，其意思是弹性薄片。

而参与研究弹性线的杰出科学家层出不穷，他们从数学、力学、实验等角度进行了各种探索。

弹性线的历史发展将使我们了解到数学力学与工程技术在解决实际问题时是如何紧密结合的。

1.平面弹性线

根据文献记载，弹性线问题最早由13世纪的数学家JordanusdeNemore提出[2]，正是他第一次从数学曲线的角度研究了弹性线的形状。

他研究了一根细杆，指出“如果快速握住其中部，杆的两端弯曲的程度更大”。

但是他错误地认为弹性线的形状是一个圆，而实际上圆仅仅是弹性线的一个特殊解。

此后关于弹性线的研究则没有太大进展，但是一些相关的实验和理论工作也为取得弹性线的新结果奠定了基础。

例如，LeonardodaVinci对两端铰支梁和悬臂梁的强度进行了实验研究，得到了结构强度与梁的长度成反比的结论[3]。

GalileoGalilei[3,4]在1638年开展了一个实验，将一根悬臂梁的一端插入到一堵墙里面，另外一端悬挂着一个重物，具体研究多大的重物能够使梁破坏。

尽管这个实验比较粗糙而且装置简单，但是Galileo在此基础上提出了脆性材料破坏的第一强度理论。

Galileo从弯矩的角度对梁进行了受力分析，但是他没有考虑梁的横向位移。

这是由于梁是脆性材料，因而其破坏之前的变形较小。

与Galileo几乎同时代的一位学者Ignace-GastonPardies在1673年给出了弹性线问题的一个可能解答，认为Galileo实验中梁的轴线变形后为抛物线，但是此结论后来被证明是错误的[2]。

这一阶段的相关工作还有，RobertHooke在1678年发表了胡克定律（也称为郑玄-胡克定律[4]），提出了在弹性范围内，结构的外力与其变形成正比。

同时Hooke也指出梁发生弯曲变形时，其横截面应该是一部分受压，另一部分受拉，但他并没有确定中性轴的具体位置。

几乎与此同时，IsaacNewton的《原理》也发表了，这标志着微积分宏伟精巧的大厦已经建立。

Newton给出了在直角坐标系o-xy中平面曲线曲率的表达式：

（1）

其中

为曲线上任意一点的曲率半径。

这些工作为弹性线的进一步研究做好了铺垫。

站在这些巨人的肩膀上，JamesBernoulli（也称为JacobBernoulli）于1691年对弹性线问题进行了深入思考，并给出了弹性线的一个解答，称为“矩形弹性线”，但是这个解答并不足够准确[2]。

于是他在1694年提出了他自己称之为“黄金定理（GoldenTheorem）”的公式对弹性线进行进一步的阐释，其基本思想为，弹性杆曲线上任一点的曲率与弯矩成正比。

正是这项工作初步描绘出了了弹性线基本方程的雏形。

在同一时期，荷兰力学家ChristiaanHuygens研究了悬索线问题，即两端固定的柔性绳索在自身重力作用下的沉降量。

Huygens对细长杆的弹性线问题也进行了研究，并指出其它几种弹性线的形状也有可能存在[2]。

关于弹性线理论发展的一个里程碑式的标志就是LeonhardEuler参与该问题的研究。

对我们来说，Euler绝不是一个陌生的名字。

实际上，他的研究领域遍布数学、物理、力学和电学的各个角落，单以Euler命名的公式和定理就多得让我们分不清。

值得一提的是，Euler正是Bernoulli家族的杰出的学生。

1742年，JamesBernoulli的侄子DanielBernoulli在写给Euler的信中提出，能否采用能量极值的方法来求解弹性线问题的一般解。

实际上弹性结构的平衡构型与其总势能的极小值是一一对应的，这个原理就是最小势能原理，这是最小作用量原理的一种特殊情况。

关于为什么自然界中最小作用量原理是一个普适的规律，用Galileo的一句名言来形容比较恰当：

“自然界总是习惯于使用最简单和最容易的手段行事”。

因此，在Bernoulli的启发下，Euler发展了变分法，提出了弹性线的平衡形状对应于应变能的极小值，而应变能可以由下式来度量：

其中l为细长杆的长度，s为弹性线的弧长坐标。

对上述应变能进行变分运算，Euler推出了在直角坐标系中弹性线的平衡方程

（2）

其中B为杆的抗弯刚度。

Euler把常数B称为“绝对弹性”，但是他并没有讨论B的物理意义，仅仅说明它与材料的弹性有关。

Euler还认为对于矩形截面梁，抗弯刚度B正比于梁宽，并与梁高的平方成正比。

我们现在知道这个结论是错误的，因为抗弯刚度应该与梁高的三次方成正比[3]。

Euler考察了如图3所示的各种弯曲情况，并根据外载荷的作用方向与载荷作用点的切线之间的夹角大小，把相应的弹性曲线分为多种类型。

根据这些弹性线，Euler还进一步研究了细长杆的屈曲（buckling）问题。

他求得了一根一端固定、一段自由的梁在轴线压缩载荷P作用下发生屈曲的临界载荷

（3）

但是在Euler的时代，这个公式没有得到足够的重视。

这是因为当时主要的建筑材料，例如木头、石头和铸铁大都是脆性的。

这个公式直到后来低碳钢得到大量应用时才重新得到了重视，同时在工业设计里面起到了举足轻重的作用。

实际上早在1729年，荷兰力学家PietervanMusschenbroek就通过实验研究了矩形截面梁柱发生屈曲的临界载荷，并指出临界载荷与杆长的平方成反比[2]。

在1811年，A.J.C.B.Duleau做了105个实验，其中包括通过设计准静态试验研究梁柱的屈曲。

但是他的实验结果与Euler的理论计算有所出入，主要还是因为当时的实验设备精度不够[3]。

图3Euler分类的各种弹性线形状

比Euler年轻的Joseph-LouisLagrange是Euler狂热的追随者，他跟踪研究了Euler的很多工作。

他与Euler先后研究了小变形情况下的弹性线问题，并于1770年针对细长杆发生屈曲的微分方程

（4）

得到了临界载荷的表达式

（n=0,1,2,3,…..）

（5）

而这正是我们今天材料力学课本中的常见表述。

Lagrange针对方程

（2）进行级数展开，得到了外载荷和梁最大挠度之间的关系式[3]。

Euler还综合考虑了细长杆以及悬索线的受力平衡，给出了这些弹性结构的一般方程

（6）

（7）

（8）

其中Q为剪力，N为轴力，M为弯矩，

为杆上任意一点的倾角，ft和fn分别为体力沿着杆截面切向和法向的分量。

这组方程不依赖于材料的性质，因为它将具有刚度的弹性杆件和不具有刚度的柔索都囊括在内了。

图4Born设计的弹性线加载装置

尽管弹性线的方程已经建立，但是弹性线的形状直到1906年才由诺贝尔奖得主MaxBorn所精确绘出。

Born在哥廷