第十章 古典概型Word文档格式.docx

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一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝＝.

1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.（　×

　）

2.古典概型有两个重要条件：

①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；

②各个样本点的出现是等可能的.（　√　）

3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率.（　×

4.从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.（　√　）

一、古典概型的判断

例1　下列概率模型是古典概型吗？

为什么？

（1）从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；

（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；

（3）从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.

解　

（1）不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.

（2）不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.

（3）是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.

反思感悟　古典概型需满足两个条件

（1）样本点总数有限.

（2）各个样本点出现的可能性相等.

跟踪训练1　下列问题中是古典概型的是（　　）

A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率

B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率

C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率

D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率

答案　D

解析　A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；

C项中样本点的个数是无限多个；

D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.

二、古典概型概率的计算

例2　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：

（1）样本空间的样本点的总数n；

（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；

（3）摸出2个黑球的概率.

解　由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.

样本空间Ω＝{（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑1，白），（黑2，黑3），（黑2，白），（黑3，白）}，其中共有6个样本点.

（2）事件“摸出2个黑球”＝{（黑1，黑2），（黑2，黑3），（黑1，黑3）}，共3个样本点.

（3）样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.

反思感悟　求古典概型概率的步骤

（1）确定样本空间的样本点的总数n.

（2）确定所求事件A包含的样本点的个数m.

（3）P（A）＝.

跟踪训练2　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________.

答案　

解析　从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：

红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝.

三、较复杂的古典概型的概率计算

例3　先后抛掷两枚质地均匀的骰子.

（1）求点数之和为7的概率；

（2）求掷出两个4点的概率；

（3）求点数之和能被3整除的概率.

解　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种.

（1）记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：

（6,1），（5,2），（4,3），（3,4），（2,5），（1,6）.

故P（A）＝＝.

（2）记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即（4,4）.

故P（B）＝.

（3）记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：

（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（3,6），（6,3），（4,5），（5,4），（6,6）.

故P（C）＝＝.

反思感悟　在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.

跟踪训练3　某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.

解　

（1）由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共15个.

所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3个，

则所求事件的概率为P＝＝.

（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），共9个.

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有

（A1，B2），（A1，B3），共2个，

则所求事件的概率为P＝.

1.下列不是古典概型的是（　　）

A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小

B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率

C.近三天中有一天降雨的概率

D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率

答案　C

解析　A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：

有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型.

2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　）

A.B.C.D.

解析　样本点有：

甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括：

乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率P＝＝.

3.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（　　）

A.0.4B.0.6

C.0.8D.1

答案　B

解析　记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为＝0.6.

4.用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是（　　）

解析　用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为.

5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________.

答案　0.2

解析　两数之和等于5有两种情况（1,4）和（2,3），总的样本点有：

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种，所以P＝＝0.2.

1.知识清单：

（1）古典概型.

（2）古典概型的概率公式.

2.方法归纳：

常用列举法（列表法、树状图）求样本点的总数.

3.常见误区：

列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.

1.下列是古典概型的是（　　）

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点

C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率

D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点

解析　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；

B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；

C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；

D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.

2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（　　）

解析　试验的样本空间Ω＝{（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为.

3.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）

解析　样本点的总数为6，

构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的样本点的个数为2，

所以所求概率P＝＝，故选B.

4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）

解析　∵Ω＝{（M,1），（M,2），（M,3），（M,4），（M,5），（I,1），（I,2），（I,3），（I,4），（I,5），（N,1），（N,2），（N,3），（N,4），（N,5）}，∴基本事件总数为15.

∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.

5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>

a的概率是（　　）

解析　设“所取的数中b>

a”为事件A，如果把选出的数a，b写成数对（a，b）的形式，则样本空间Ω＝{（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2），（5,3）}，共15个，事件A包含的样本点有（1,2），（1,3），（2,3），共3个，因此所求的概率P（A）＝＝.

6.从三男三女共6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率为________.

解析　用A，B，C分别表示三名男同学，用a，b，c分别表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种.其中2名都是女同学包括ab，ac，bc，共3种.故所求