初二数学人教版秋季班教师版第4讲 全等辅助线二尖子班Word格式.docx

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∴DE+DN=BM+DN=MN

即

【方法总结】

本题考查了全等三角形的性质和判定，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题.

【随堂练习】

1.（2017秋•河西区校级月考）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD=30°

，∠MDN=60°

，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？

证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN=90°

时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？

（3）如图③，在

（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

【解答】

（1）AM+BN=MN，

证明：

延长CB到E，使BE=AM，

∵∠A=∠CBD=90°

，

∴∠A=∠EBD=90°

在△DAM和△DBE中

∴△DAM≌△DBE，

∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，

∵∠MDN=∠ADC=60°

∴∠ADM=∠NDC，

∴∠BDE=∠NDC，

∴∠MDN=∠NDE，

在△MDN和△EDN中

∴△MDN≌△EDN，

∴MN=NE，

∵NE=BE+BN=AM+BN，

∴AM+BN=MN．

（2）AM+BN=MN，

延长CB到E，使BE=AM，连接DE，

∴∠A=∠DBE=90°

∵∠CDA+∠ACD=90°

，∠MDN+∠ACD=90°

∴∠MDN=∠CDA，

∵∠MDN=∠BDC，

∴∠MDA=∠CDN，∠CDM=∠NDB，

∴∠BDE=∠MDA=∠CDN，DM=DE，

∵∠MDN+∠ACD=90°

，∠ACD+∠ADC=90°

∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，

∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，

∵∠CDM=∠NDB

（3）BN﹣AM=MN，

在CB截取BE=AM，连接DE，

∵∠ADN=∠ADN，

∴∠MDA=∠CDN，

∵∠B=∠CAD=90°

∴∠B=∠DAM=90°

∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE，

∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，

∴∠MDN=∠EDN，

∵NE=BN﹣BE=BN﹣AM，

∴BN﹣AM=MN．

知识点2手拉手模型

“手拉手”数学模型：

1.如图，已知点为线段上一点，、是等边三角形．

⑴求证：

.

⑵将绕点按逆时针方向旋转，使点落在上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；

⑶在⑵得到的图形中，结论“”是否还成立，若成立，请证明；

若不成立，请说明理由；

【解析】⑴∵、是等边三角形

∴，

⑵将绕点旋转如图：

⑶在⑵的情况，结论仍然成立．

∵，，．

∴（SAS），

∴．

这是一个运动变化的探索题，是“手拉手”经典例题，证明方法类似，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）；

解决此类题，需要画图分析、判断、猜想、推理论证．

（2017春•漳浦县期中）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请猜想：

DC与BE的数量关系，并给予证明；

（2）求证：

DC⊥BE．

（1）解：

DC=BE；

理由如下：

∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°

．∠ABC=∠ACB=45°

∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．

即∠BAE=∠CAD，

在△ABE与△ACD中，，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴DC=BE；

（2）证明：

∵△ABE≌△ACD，

∴∠ACD=∠ABE=45°

又∵∠ACB=45°

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°

∴DC⊥BE．

知识点3三垂模型

常见三垂直模型

1.如图

（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

（2）若将CD沿CB方向平移得到图

（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第

（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？

请任选一个说明理由．

【解析】解：

（1）AC⊥CE．

理由：

如图

（1），

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠B=∠D=90°

，又AB=CD，BC=DE，

∴△ABC≌△CDE（SAS），

∴∠A=∠DCE，

∵∠A+∠ACB=90°

∴∠DCE+∠ACB=90°

∴AC⊥CE；

（2）不变．

如图

（2），

，又AB=C2D，BC1=DE，

∴△ABC1≌△C2DE（SAS），

∴∠A=∠EC2D，又∵∠A+∠AC1B=90°

∴∠EC2D+∠AC1B=90°

∴∠C2MC1=90°

∴AC1⊥EC2．

本题主要考查全等三角形的判定、平移的性质，关键在于根据题意求证相关三角形全等．

对于第一问，根据题意推出△ABC≌△CDE，即可推出AC⊥CE；

对于第二问，主要是根据已知推出△ABC1≌△C2DE，即可推出结论．

1．（2016秋•罗平县期末）已知：

如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°

，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，

（1）求证：

DE=BD+CE．

（2）如果是如图2这个图形，我们能得到什么结论？

并证明．

【解答】证明：

（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠D=∠E=90°

∴∠DBA+∠DAB=90°

∵∠BAC=90°

∴∠DAB+∠CAE=90°

∴∠DBA=∠CAE，

∵AB=AC，

∴△ADB≌△CEA，

∴BD=AE，CE=AD，

∴DE=AD+AE=CE+BD；

（2）BD=DE+CE，理由是：

∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB=∠AEC=90°

∴∠ABD+∠BAD=90°

∴∠ABD+∠EAC=90°

∴∠BAD=∠EAC，

∵AE=AD+DE，

∴BD=CE+DE．

2．（2016秋•杭州期末）如图，∠BCA=90°

，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°

＜∠ACF＜45°

．

△BEC≌△CFA；

（2）若AF=5，EF=8，求BE的长；

（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．

（1）证明：

∵∠BCA=∠BEC=∠F=90°

∴∠BCE+∠B=90°

，∠BCE+∠ACF=90°

∴∠B=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA．

解：

（2）∵△BEC≌△CFA，

∴AF=CE=5，BE=CF，

∵CF=CE+EF=5+8=13，

∴BE=13．

（3）结论：

△QEF是等腰直角三角形．

如图，由此EQ交AF的延长线于M．

∵BE⊥CF，AF⊥CF，

∴BE∥AM，

∴∠BEQ=∠M，

在△BQE和△AQM中，

∴△BQE≌△AQM，

∴EQ=QM，BE=AM=CF，

∵CE=AF，

∴FE=FM，

∴FQ⊥EM，QF=QM=QE，

∴△QEF是等腰直角三角形．

综合运用

1.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形ABC外一点，且,,BD=DC.探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

图1图2

（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；

（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想⑴问的结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明.

（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系

BM+NC=MN．

（2）猜想：

结论仍然成立．

如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

BD=CD且．

又△ABC是等边三角形，

在与中：

（SAS）．

DM=DE,

在MDN与EDN中：

（SAS）

2.如图，等边三角形与等边三角形共点于，连接、，

求证：

=并求出的度数.

【解析】∵△ABE、△AFC是等边三角形

∴AE=AB，AC=AF，

∴=

又∵

3.如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于A，连接BG、CF，则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出∠GNC的度数．

结论：

BG=CF．

如图，BG交CF于N，AG交CF于P，

∵正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于A，

∴AB=AF，AC=AG，∠BAF=∠CAG=108°

∴∠BAG=∠FAC，

在△ABG和△AFC中，

∴△ABG≌△AFC（SAS），

∴CF=BG，∠BGA=∠FCA，

∵∠GNC=180°

﹣∠BGA﹣∠NPG，

∵∠NPG=∠APC，

∴∠GNC=180°

﹣∠FCA﹣∠APC=∠CAG=108°

4.如图，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O．

EC=BG且EC⊥BG．

（2）探究：

△ABC与△AEG面积是否相等？

并说明理由．

（1）在正方形ABDE和正方形ACFG中，AE=AB，AC=AG，

∵∠EAB=∠GAC=90°

∴∠EAC=∠BAG，

在△EAC和△BAG中，，

∴△EAC≌△BAG（SAS），