全国卷 高二数学 第01讲 直线与圆的方程文档格式.docx

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2．点到直线的距离公式

点到直线：

的距离的计算公式：

；

两条平行直线和之间的距离为．

3．两条直线的位置关系：

，：

⑴两条直线相交、平行与重合的条件：

①相交的条件：

②平行的条件：

且

③重合的条件：

，，

⑵两条直线垂直的条件：

<

教师备案>

斜率存在的情况下：

两条直线为：

：

相交的条件：

平行的条件：

且；

重合的条件：

，．

两条直线垂直的条件：

．

考点1：

直线方程及其灵活应用

【例1】⑴已知直线过点，且点、到的距离相等，求直线的方程．

⑵等腰直角三角形的直角顶点和顶点都在直线上，顶点的坐标

是，求边，所在的直线方程．

⑶过点作直线，使它被两直线和所截得的线段

被点平分，求直线的方程．

【解析】⑴或．

⑵直线的方程为，直线的方程为或．

⑶．

【例2】过点的直线分别交、轴的负半轴于两点，当最小时，求直线的方程．

【解析】．

尖子班学案1

【拓2】已知过点且斜率为的直线与轴分别交于，过作直线的垂线，垂足分别为，求四边形的面积的最小值．

【解析】当时，四边形的面积有最小值为．

目标班学案1

【拓3】将一块直角三角板（角）置于直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（），要把损坏的部分锯掉，可用经过的任意一条直线将其锯成，问如何确定直线的斜率，才能使锯成的的面积最大？

【解析】当直线的斜率为时，取得最大值．

1．求以，，为顶点的外接圆的方程．

【点评】当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程．

2．若，方程表示的圆的个数为（）

A．个B．个C．个D．个

【解析】B；

3．证明：

以为直径端点的圆方程为．

【解析】，变形即可得．

1．圆的标准方程

　⑴以点为圆心，为半径的圆的方程：

　⑵圆心在原点的圆的标准方程：

2．圆的一般方程

，（）①

说明：

⑴和项的系数相等且都不为零；

⑵没有这样的二次项．

⑶表示以为圆心，为半径的圆．

⑴当时，方程①只有实根，，方程①表示一个点

⑵当时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形．

考点2：

圆的方程及其灵活应用

【例3】⑴求经过点、，圆心在直线上的圆的方程．

⑵求过点且与轴相切的圆的方程．

【解析】⑴．⑵．

三个独立条件确定一个圆，一般用待定系数法求圆的方程．如果已知圆心或半径或圆心到直线的距离可

用标准式；

如果已知圆经过某些点常用一般式．

在求圆的方程时，应当注意以下几点：

①确定用圆的标准方程还是一般方程；

②运用圆的几何性质建立方程求得a、b、r或D、E、F；

③在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数．

提高班学案1

【拓1】过点作圆的两条切线，切点分别为，为坐标原点，则的外接圆方程是

A．B．

C．D．

【解析】A

【选讲】在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为．

⑴求实数的取值范围；

⑵求圆的方程．

【解析】⑴的取值范围是．

⑵圆的方程为（或写为）

1．设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（）

A．B．C．D．

【解析】C

2．圆与直线相切于点，则直线的方程为（）

A．B．C．D．

【解析】D．

3．直线被圆所截得的弦长为______．

4．过点作圆的弦，使为的中点，则弦所在直线的方程为（）

A．B．C．D．

主要是对直线与圆的位置关系、过一点作圆的切线以及圆的弦长的回顾．

1．直线与圆的位置关系

⑴如果直线到圆心的距离为，圆的半径为，那么：

①若，则直线与圆相离；

②若，则直线与圆相切；

③若，则直线与圆相交．

⑵将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二

次方程，求出其的值，然后比较判别式与的大小关系，

若，则直线与圆相离；

若，则直线与圆相切；

若，则直线与圆相交．

2．圆与圆的位置关系

平面上两圆的位置关系有五种，可以从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断．

设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为，

当时，两圆外离；

当时，两圆外切；

当时，两圆相交；

当时，两圆内切；

当时，两圆内含．

3．当圆与圆相交时，求相交两点所在直线的方程时把两圆的方程作差即可．

1．根据直线与圆的方程判断位置关系和求弦长，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的关系求解．

2．要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”、“圆的切线垂直于经过切点的半径”、“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等，寻找解题途径，减少运算量．

3．圆与直线相切的情形——圆心到的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于．

4．圆与直线相交的情形——圆心到的距离小于半径，过圆心而垂直于的直线平分被圆截得的弦；

连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；

过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过此点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．

在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．

考点3：

直线与圆基础

【例4】⑴已知圆，求的最大值与最小值．

⑵若圆与圆的公共弦的长为，则．

【解析】⑴的最大值与最小值分别为和．

提高班学案2

【拓1】⑴已知满足，则的最小值为；

⑵求圆心为，且与已知圆的公共弦所在直线过点的圆的方程．

尖子班学案2

【拓2】如果实数、满足，则的最大值为，的最大值为______．

【解析】，；

目标班学案2

【拓3】⑴已知圆，为圆上任一点，求的最大、最小值．

⑵已知两圆和．

①若两圆在直线的两侧，求实数的取值范围；

②求经过点且和两圆都没有公共点的直线斜率的取值范围．

【解析】⑴的最大值为，最小值为⑵①．②．

考点4：

与圆有关的对称问题

【例5】⑴已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）

⑵一条光线从点射出，经轴反射，与圆相切，求反射光线所在的直线的方程．

【解析】⑴B⑵或．

提高班学案3

【拓1】已知点是圆上任意一点，点关于直线的对称点也在圆上，则实数等于．

【解析】

尖子班学案3

【拓2】已知圆与以原点为圆心的某圆关于直线对称，求、的值．

目标班学案3

【拓3】自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切，求入射光线和反射光线所在的直线方程，并求光线自到切点所经过的路程．

考点5：

圆上的点到直线的距离问题

【例6】已知圆和直线，

⑴若圆上有且只有个点到直线的的距离等于，求半径的取值范围；

⑵若圆上有且只有个点到直线的的距离等于，求半径的取值范围；

⑶若圆上有且只有个点到直线的的距离等于，求半径的取值范围．

【解析】方法一采用转化为直线与圆的交点个数来解决；

方法二从劣弧的点到直线的最大距离作为观察点入手．

⑴；

⑵；

⑶

【点评】将圆上到直线的距离等于的点的个数转化为两条直线与圆的交点个数，是一种简明的处理方法，对解决这类问题特别有效．

【备选】已知圆和点，点在圆上，求面积的最小值．

【解析】；

考点6：

直线与圆综合

【例7】如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆

外切、且与轴及直线分别相切于、两点．

⑴求圆和圆的方程；

⑵过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．

1【解析】⑴的方程为，的方程为；

【演练1】过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长

为．

【解析】4

【演练2】已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）

A．B．

C．D．

【解析】B

【演练3】直线上的点到圆上的点的最近距离是（）

A．B．C．D．1

【演练4】已知圆和点，若点在圆上且的面积为，

则满足条件的点的个数是（）

【解析】C；

【演练5】如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，

点在边所在直线上．

⑴求边所在直线的方程；

⑵求矩形外接圆的方程．

【解析】⑴．⑵．

【演练6】设点是圆上任一点，求的取值范围．

1．设圆满足：

①截轴所得弦长为；

②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足①②的所有圆中，求圆心到直线：

的距离最小的圆的方程．

【解析】设所求的圆的圆心为，半径为，则到轴的距离分别为．

由圆截轴所对的圆心角为，得圆截轴所得弦长为，故．

又圆截轴所得弦长为，所以有，从而．

设到直线的距离为，则，

于是，当且仅当时等号成立，此时或．

故所求的圆的方程为或．

2．点到定点的距离之比为（），求点的轨迹．

【解析】以直线为轴，设的坐标分别为，点坐标为，

则，化简得，

即，

即

这是一个以为圆心，为半径的圆．

此圆与轴交于点，．这两点是线段的内分点和外分点，是线段的中点，这个圆是以为直径的圆．

这个圆通常称为阿波罗尼斯圆．