高考数学大一轮复习 46二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换学案 理 苏教版Word文档格式.docx

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3．函数y＝（sinx－cosx）2－1的最小正周期为________．

4.＋2的化简结果是________．

5．函数f（x）＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为________和________．

探究点一　三角函数式的化简

例1　求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

变式迁移1　（xx·

泰安一模）已知函数f（x）＝.

（1）求f的值；

（2）当x∈时，求g（x）＝f（x）＋sin2x的最大值和最小值．

探究点二　三角函数式的求值

例2　已知sin（＋2α）·

sin（－2α）＝，α∈（，），求2sin2α＋tanα－－1的值．

变式迁移2　

（1）已知α是第一象限角，且cosα＝，求的值．

（2）已知cos（α＋）＝，≤α<

，求cos（2α＋）的值．

探究点三　三角恒等式的证明

例3　（xx·

苏北四市模拟）已知sin（2α＋β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f（x）．

（1）求证：

tan（α＋β）＝2tanα；

（2）求f（x）的解析式；

（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．

变式迁移3　求证：

＝.

转化与化归思想

例　（14分）（xx·

江西）已知函数f（x）＝sin2x＋msinsin.

（1）当m＝0时，求f（x）在区间上的取值范围；

（2）当tanα＝2时，f（α）＝，求m的值．

【答题模板】

解　

（1）当m＝0时，f（x）＝sin2x

＝sin2x＋sinxcosx＝

＝，[3分]

由已知x∈，得2x－∈，[4分]

所以sin∈，[5分]

从而得f（x）的值域为.[7分]

（2）f（x）＝sin2x＋sinxcosx－cos2x

＝＋sin2x－cos2x

＝[sin2x－（1＋m）cos2x]＋，[9分]

由tanα＝2，得sin2α＝＝＝，

cos2α＝＝＝－.[11分]

所以＝＋，[12分]

解得m＝－2.[14分]

【突破思维障碍】

三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：

（1）能求出数值的要求出数值；

（2）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；

（3）分式中的分母尽量不含根式等．

1．求值中主要有三类求值问题：

（1）“给角求值”：

一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

（2）“给值求值”：

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

（3）“给值求角”：

实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：

（1）在化简求值和证明时常用如下方法：

切割化弦法，升幂降幂法，辅助元素法，“1”的代换法等．

（2）常用的拆角、拼角技巧如：

2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β，α＝（α－β）＋β，＝＋，是的二倍角等．

（3）化繁为简：

变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．

消除差异：

消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．

（满分：

90分）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．已知0<

α<

π，3sin2α＝sinα，则cos（α－π）＝______.

2．已知tan（α＋β）＝，tan＝，那么tan＝________.

3．（xx·

淮安模拟）已知cos2α＝（其中α∈），则sinα的值为________．

4．若f（x）＝2tanx－，则f的值为________．

5．（xx·

福建厦门外国语学校高三第二次月考）在△ABC中，若cos2B＋3cos（A＋C）＋2＝0，则sinB的值是________．

6．（xx·

镇江模拟）已知sin（－α）＝，则cos（＋2α）的值是________．

7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．

8．若＝－，则cosα＋sinα的值为________．

二、解答题（共42分）

9．（14分）化简：

（1）cos20°

cos40°

cos60°

cos80°

；

（2）.

10．（14分）（xx·

南京一模）设函数f（x）＝sinxcosx－cosxsin－.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）当∈时，求函数f（x）的最大值和最小值．

11．（14分）（xx·

北京）已知函数f（x）＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

（1）求f（）的值；

（2）求f（x）的最大值和最小值．

答案自主梳理

（1）2sinαcosα　

（2）cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α

（3）　

（1）sin2α　

（2）　　2cos2　2sin2　（sinα±

cosα）2

1．－

解析　原式＝（sin2α＋cos2α）（sin2α－cos2α）

＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.

2．－

解析　∵x∈（－，0），cosx＝，

∴sinx＝－，tanx＝－，tan2x＝＝－.

3．π

解析　y＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x－1＝－sin2x，

∴T＝π.

4．－2sin4

解析　原式＝＋2

＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.

5．－3　

解析　f（x）＝cos2x－2sinx

＝1－2sin2x－2sinx＝－22＋，

则sinx＝－时，f（x）最大＝；

sinx＝1时，f（x）最小＝－3.

课堂活动区

例1　解题导引　化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．

解　y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x

＝7－2sin2x＋4cos2x（1－cos2x）

＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x

＝7－2sin2x＋sin22x＝（1－sin2x）2＋6，

由于函数z＝（u－1）2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝（－1－1）2＋6＝10，最小值为zmin＝（1－1）2＋6＝6，

故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，

当sin2x＝1时，y取得最小值6.

变式迁移1　解　

（1）f（x）

＝＝

＝＝＝2cos2x，

∴f＝2cos＝2cos＝.

（2）g（x）＝cos2x＋sin2x＝sin.

∵x∈，∴2x＋∈，

∴当x＝时，g（x）max＝，

当x＝0时，g（x）min＝1.

例2　解题导引　

（1）这类问题一般是先化简再求值；

化简后目标更明确；

（2）如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．

解　由sin（＋2α）·

sin（－2α）

＝sin（＋2α）·

cos（＋2α）

＝sin（＋4α）＝cos4α＝，

∴cos4α＝，又α∈（，），故α＝，

∴2sin2α＋tanα－－1＝－cos2α＋

＝－cos2α＋＝－cos－＝.

变式迁移2　解　

（1）∵α是第一象限角，

cosα＝，∴sinα＝.

∴＝＝

＝＝＝－.

（2）cos（2α＋）＝cos2αcos－sin2αsin

＝（cos2α－sin2α），

∵≤α<

，∴≤α＋<

.

又cos（α＋）＝>

0，

故可知<

α＋<

π，∴sin（α＋）＝－，

从而cos2α＝sin（2α＋）

＝2sin（α＋）cos（α＋）＝2×

（－）×

＝－.

sin2α＝－cos（2α＋）＝1－2cos2（α＋）

＝1－2×

（）2＝.

∴cos（2α＋）＝（cos2α－sin2α）＝×

（－－）

例3　解题导引　本题的关键是第

（1）小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第

（2）小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第（3）小题则利用基本不等式求解即可．

解　

（1）由sin（2α＋β）＝3sinβ，

得sin[（α＋β）＋α]＝3sin[（α＋β）－α]，

即sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα

＝3sin（α＋β）cosα－3cos（α＋β）sinα，

∴sin（α＋β）cosα＝2cos（α＋β）sinα，

∴tan（α＋β）＝2tanα.

（2）由

（1）得＝2tanα，即＝2x，

∴y＝，即f（x）＝.

（3）∵角α是一个三角形的最小内角，

∴0<

α≤，0<

x≤，

设g（x）＝2x＋，则g（x）＝2x＋≥2（当且仅当x＝时取“＝”）．

故函数f（x）的值域为（0，]．

变式迁移3　证明　因为左边＝

＝

＝＝＝右边．

所以原等式成立．

课后练习区

解析　∵0<

π，3sin2α＝sinα，

∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝，

cos（α－π）＝cos（π－α）＝－cosα＝－.

2.

解析　因为α＋＋β－＝α＋β，

所以α＋＝（α＋β）－.

所以tan＝tan

＝＝.

3．－

解析　∵＝cos2α＝1－2sin2α，

∴sin2α＝.又∵α∈，

∴sinα＝－.

4．8

解析　f（x）＝2tanx＋＝2tanx＋

＝＝，

∴f＝＝8.

5.

解析　由cos2B＋3cos（A＋C）＋2＝0化简变形，得