高考数学大一轮复习 46二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换学案 理 苏教版Word文档格式.docx

1、3函数y（sin xcos x）21的最小正周期为_4.2的化简结果是_5函数f（x）cos 2x2sin x的最小值和最大值分别为_和_探究点一三角函数式的化简例1求函数y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值变式迁移1（xx泰安一模）已知函数f（x）.（1）求f的值；（2）当x时，求g（x）f（x）sin 2x的最大值和最小值探究点二三角函数式的求值例2已知sin（2）sin（2），（，），求2sin2tan 1的值变式迁移2（1）已知是第一象限角，且cos ，求的值（2）已知cos（），求cos（2）的值探究点三三角恒等式的证明例3（xx苏北四市模拟）已知sin

2、（2）3sin ，设tan x，tan y，记yf（x）（1）求证：tan（）2tan ；（2）求f（x）的解析式；（3）若角是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域变式迁移3求证：.转化与化归思想例（14分）（xx江西）已知函数f（x）sin2xmsinsin.（1）当m0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tan 2时，f（），求m的值【答题模板】解（1）当m0时，f（x）sin2xsin2xsin xcos x，3分由已知x，得2x，4分所以sin，5分从而得f（x）的值域为.7分（2）f（x）sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2x（1

3、m）cos 2x，9分由tan 2，得sin 2，cos 2.11分所以，12分解得m2.14分【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果化简三角函数式的基本要求是：（1）能求出数值的要求出数值；（2）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；（3）分式中的分母尽量不含根式等1求值中主要有三类求值问题：（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非

4、特殊角的三角函数而得解（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系（3）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角2三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：（1）在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，辅助元素法，“1”的代换法等（2）常用的拆角、拼角技巧如：2（）（），（），（），是的二倍角等（3）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式消除差异：消除已

5、知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异（满分：90分）一、填空题（每小题6分，共48分）1已知0，3sin 2sin ，则cos（）_.2已知tan（），tan，那么tan_.3（xx淮安模拟）已知cos 2（其中），则sin 的值为_4若f（x）2tan x，则f的值为_5（xx福建厦门外国语学校高三第二次月考）在ABC中，若cos 2B3cos（AC）20，则sin B的值是_6（xx镇江模拟）已知sin（），则cos（2）的值是_7函数y2cos2xsin 2x的最小值是_8若，则cos sin 的值为_二、解答题（共42分）9（14分）化简：（1

6、）cos 20cos 40cos 60cos 80；（2）.10（14分）（xx南京一模）设函数f（x）sin xcos xcos xsin.（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值11（14分）（xx北京）已知函数f（x）2cos 2xsin2x4cos x.（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最大值和最小值答案 自主梳理（1）2sin cos （2）cos2sin22cos22sin2（3）（1） sin 2（2）2cos22sin2（sin cos ）21解析原式（sin2cos2）（sin2cos2）sin2cos22sin21.2解析x（，0），co

7、s x，sin x，tan x，tan 2x.3解析ysin2x2sin xcos xcos2x1sin 2x，T.42sin 4解析原式22|cos 4|2|sin 4cos 4|2sin 4.53解析f（x）cos 2x2sin x12sin2x2sin x22，则sin x时，f（x）最大；sin x1时，f（x）最小3.课堂活动区例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键解y74sin xcos x4cos2x4cos4x72sin 2x4cos2

8、x（1cos2x）72sin 2x4cos2xsin2x72sin 2xsin22x（1sin 2x）26，由于函数z（u1）26在1,1中的最大值为zmax（11）2610，最小值为zmin（11）266，故当sin 2x1时，y取得最大值10，当sin 2x1时，y取得最小值6.变式迁移1解（1）f（x）2cos 2x，f2cos2cos.（2）g（x）cos 2xsin 2xsin.x，2x，当x时，g（x）max，当x0时，g（x）min1.例2解题导引（1）这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；（2）如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦

9、函数解由sin（2）sin（2）sin（2）cos（2）sin（4）cos 4，cos 4，又（，），故，2sin2tan 1cos 2cos 2cos.变式迁移2解（1）是第一象限角，cos ，sin .（2）cos（2）cos 2cossin 2sin（cos 2sin 2），0，故可知，sin（），从而cos 2sin（2）2sin（）cos（）2（）.sin 2cos（2）12cos2（）12（）2.cos（2）（cos 2sin 2）（）例3解题导引本题的关键是第（1）小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的

10、角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证对于第（2）小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系第（3）小题则利用基本不等式求解即可解（1）由sin（2）3sin ，得sin（）3sin（），即sin（）cos cos（）sin 3sin（）cos 3cos（）sin ，sin（）cos 2cos（）sin ，tan（）2tan .（2）由（1）得2tan ，即2x，y，即f（x）.（3）角是一个三角形的最小内角，0，0x，设g（x）2x，则g（x）2x2 （当且仅当x时取“”）故函数f（x）的值域为（0，变式迁移3证明因为左边右边所以原等式成立课后练习区解析0，3sin 2sin ，6sin cos sin ，又sin 0，cos ，cos（）cos（）cos .2. 解析因为，所以（）.所以tantan.3解析cos 212sin2，sin2.又，sin .48解析f（x）2tan x2tan x，f8.5. 解析由cos 2B3cos（AC）20化简变形，得