高中数学专题 简单曲线的极坐标方程 学案文档格式.docx

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（1）曲线C上点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；

（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上.

2.曲线的极坐标方程

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ρ，θ）＝0，并且坐标适合方程f（ρ，θ）＝0的点都在曲线C上，那么方程f（ρ，θ）＝0叫做曲线C的极坐标方程.

3.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r（0≤θ<

2π）

圆心为（r，0），半径为r的圆

ρ＝2rcos__θ

圆心为，半径为r的圆

ρ＝2rsin__θ

（0≤θ<

π）

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α或θ＝α＋π

过点（a，0），与极轴垂直的直线

ρcos__θ＝a

过点，与极轴平行的直线

ρsin__θ＝a

（0<

θ<

要点一　圆的极坐标方程

例1　求圆心在C处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上.

解　如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设

M（ρ，θ）为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos，∴ρ＝－4sinθ，经验证，点O（0，0），A的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ.

∵sin＝，∴ρ＝－4sinθ＝－4sin＝－2，

∴点在此圆上.

规律方法　1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：

（1）建立适当的极坐标系（本题无需建）；

（2）在曲线上任取一点M（ρ，θ）；

（3）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；

（4）用极坐标（ρ，θ）表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；

（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程.（一般只要对特殊点加以检验即可）.

2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.

跟踪演练1　曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.

解析　直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入整理得ρ＝2cosθ.

答案　ρ＝2cosθ

要点二　射线或直线的极坐标方程

例2　如图，在极坐标系中，直线l过M且该直线与极轴的正方向成，求此直线l的极坐标方程.

解　法一　设直线上任意一点为P（ρ，θ），在△OMP中∠OMP＝＋＝π，∠MPO＝θ－.根据正弦定理得＝，

即ρsin＝.

法二　设直线上任意一点为P（ρ，θ），点M的直角坐标为（0，3），直线MP的倾斜角为，∴直线l为y＝x＋3，化直角坐标方程为极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ＋3，∴ρsin＝.

规律方法　法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；

法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程.

跟踪演练2　求以A（1，0）为端点，倾斜角为且在极轴上方的射线的极坐标方程.

解　由题意，设M（ρ，θ）为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin＝，化简得ρ（cosθ－sinθ）＝1.

经检验点A（1，0）的坐标适合上述方程.

因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ（cosθ－sinθ）＝1.

要点三　极坐标方程与直角坐标方程的互化

例3　若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线ρsin＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|.

解　

（1）因为所以ρ2＝x2＋y2，由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，

∴x2＋y2－4x－2y＝0，即（x－2）2＋（y－1）2＝5.

（2）由ρsin＝0，得ρ＝0，

即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.

由于圆（x－2）2＋（y－1）2＝5的半径为r＝，圆心（2，1）到直线x－y＝0的距离为d＝＝，∴|AB|＝2＝3.

规律方法　1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝

ρsinθ直接代入并化简即可；

而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.

跟踪演练3　

（1）将x2－y2＝a2化为极坐标方程；

（2）将ρ＝2asinθ化为直角坐标方程.

（3）将θ＝化为直角坐标方程.

解　

（1）直接代入互化公式，ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝a2，∴ρ2cos2θ＝a2，这就是所求的极坐标方程.

（2）两边同乘以ρ得ρ2＝2a·

ρsinθ.∴x2＋y2＝2ay，这就是要求的直角坐标方程.

（3）tanθ＝，∴tan＝＝，化简得y＝x（x≥0）.

要点四　极坐标方程的应用

例4　从极点O作直线与另一直线l：

ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·

|OP|＝12.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值.

解　

（1）设动点P的极坐标为（ρ，θ），M的极坐标为（ρ0，θ），则ρρ0＝12.

∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程.

（2）将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，即＋y2＝，

知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆.直经l的直角坐标方程是x＝4.

结合图形易得|RP|的最小值为1.

规律方法　1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.

跟踪演练4　在直角坐标系xOy中，直线C1：

x＝－2，圆C2：

（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.

解　

（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为：

ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.

（2）将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，

得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.因为C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别

由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即（ρ，θ），（ρ，2π＋θ），（－ρ，π＋θ），（－ρ，－π＋θ）都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M可以表示为或或等多种形式，其中，只有的极坐标满足方程ρ＝θ.

2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M（ρ，θ），探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.

1.极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是（　　）

A.3B.

C.1D.

解析　极坐标方程化直角坐标方程为x2＋y2＝x和x2＋y2＝y，它们的圆心分别是，，圆心距是.

答案　D

2.4ρsin2＝5表示的曲线是（　　）

A.圆B.椭圆

C.双曲线的一支D.抛物线

解析　4ρsin2＝5⇒4ρ＝5⇒2ρ＝2ρcosθ＋5.

∵ρ＝，ρcosθ＝x，代入上式得2＝2x＋5，两边平方整理得y2＝5x＋，∴它表示的曲线为抛物线.

3.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________.

解析　由2ρsin＝得y－x＝1.∴x－y＋1＝0.

而点A对应直角坐标为A（2，－2），则点A（2，－2）到直线x－y＋1＝0的距离为＝.

答案　

4.设P，直线l经过P点且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程.

解　如图，设M（ρ，θ）为直线l上除P点外的任意一点，连接OM、OP，直线l交Ox于点A，则有|OM|＝ρ，|OP|＝2，∠xAM＝，∠AOP＝，故∠OPM＝，∠MOP＝θ－，所以有|OM|cos∠MOP＝|OP|，即ρcos＝2，显然P点也在这条直线上.∴直线l的极坐标方程为ρcos＝2.

一、基础达标

1.圆心在（1，0）且过极点的圆的极坐标方程为（　　）

A.ρ＝1B.ρ＝cosθ

C.ρ＝2cosθD.ρ＝2sinθ

解析　圆的直角坐标方程是（x－1）2＋y2＝1，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，整理得，ρ＝2cosθ，即为此圆的极坐标方程.

答案　C

2.在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（　　）

A.θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝2B.θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝2

C.θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝1D.θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝1

解析　由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即（x－1）2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）和ρcosθ＝2.

答案　B

3.极坐标方程ρ·

sinθ＝2sin2θ表示的曲线为（　　）

A.两条直线B.一条射线和一个圆

C.一条直线和一个圆D.圆

解析　由ρ·

sinθ＝2sin2θ，得ρsinθ＝4sinθcosθ，即sinθ（ρ－4cosθ）＝0，∴sinθ＝0或ρ－4cosθ＝0.∴极坐标方程ρ·

sinθ＝2sin2θ表示的曲线为直线sinθ＝0和圆ρ＝4cosθ.

4.在极坐标系中，设圆C：

ρ＝4cosθ与直线l：

θ＝（ρ∈R）交于A，B两点，则以AB为直径的圆的极坐标方程为（　　）

A.ρ＝2sinB.ρ＝sin

C.ρ＝2cosD.ρ＝cos

解析　根据题意可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，直线l的直角坐标方程为y＝x，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为（0，0），（2，2），所以在直角坐标系中，以AB为直径的圆的圆心为（1，1）、半径为，则方程为x2＋y2＝2x＋2y，所以所求极坐标方程为ρ＝2（cosθ＋sin