高中数学专题 简单曲线的极坐标方程 学案文档格式.docx

1、（1）曲线C上点的坐标都是方程f（x，y）0的解；（2）以方程f（x，y）0的解为坐标的点都在曲线C上.2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（，）0，并且坐标适合方程f（，）0的点都在曲线C上，那么方程f（，）0叫做曲线C的极坐标方程.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r（02）圆心为（r，0），半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_（0）过极点，倾斜角为的直线或过点（a，0），与极轴垂直的直线cos_a过点，与极轴平行的直线sin_a（0要点一圆的极坐标方程例1求圆心在C处并且过极点

2、的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上.解如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M（，）为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连接AM，则OMMA.在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos，4sin ，经验证，点O（0，0），A的坐标满足上式.满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin，4sin 4sin2，点在此圆上.规律方法1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：（1）建立适当的极坐标系（本题无需建）；（2）在曲线上任取一点M（，）；（3）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；（4）用极坐标（，）表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；（5）证明所

3、得的方程是曲线的极坐标方程.（一般只要对特殊点加以检验即可）.2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.跟踪演练1曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_.解析直角坐标方程x2y22x0可化为x2y22x，将2x2y2，xcos 代入整理得2cos .答案2cos 要点二射线或直线的极坐标方程例2如图，在极坐标系中，直线l过M且该直线与极轴的正方向成，求此直线l的极坐标方程.解法一设直线上任意一点为P（，），在OMP中OMP，MPO.根据正弦定理得，即sin.法二设直线上任意一点为P（，），点

4、M的直角坐标为（0，3），直线MP的倾斜角为，直线l为yx3，化直角坐标方程为极坐标方程为sin cos 3，sin.规律方法法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以，为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程.跟踪演练2求以A（1，0）为端点，倾斜角为且在极轴上方的射线的极坐标方程.解由题意，设M（，）为射线上任意一点，根据例题可知，sin，化简得（cos sin ）1.经检验点A（1，0）的坐标适合上述方程.因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方

5、程为（cos sin ）1.要点三极坐标方程与直角坐标方程的互化例3若曲线C的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线sin0与曲线C相交于A、B，求|AB|.解（1）因为所以2x2y2，由2sin 4cos ，得22sin 4cos ，x2y24x2y0，即（x2）2（y1）25.（2）由sin0，得0，即sin cos 0，xy0.由于圆（x2）2（y1）25的半径为r，圆心（2，1）到直线xy0的距离为d，|AB|23.规律方法1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简

6、即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.跟踪演练3（1）将x2y2a2化为极坐标方程；（2）将2asin 化为直角坐标方程.（3）将化为直角坐标方程.解（1）直接代入互化公式，2cos2 2sin2 a2，2cos 2a2，这就是所求的极坐标方程.（2）两边同乘以得22asin .x2y22ay，这就是要求的直角坐标方程.（3）tan ，tan，化简得

7、yx（x0）.要点四极坐标方程的应用例4从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值.解（1）设动点P的极坐标为（，），M的极坐标为（0，），则012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程.（2）将3cos 化为直角坐标方程，得x2y23x，即y2，知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆.直经l的直角坐标方程是x4.结合图形易得|RP|的最小值为1.规律方法1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是

8、极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.跟踪演练4在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：（x1）2（y2）21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为 （R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积.解（1）因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为：22cos 4sin 40.（2）将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.因为C2的半径为1，所以C2MN的面积为.1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区

9、别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即（，），（，2），（，），（，）都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M可以表示为或或等多种形式，其中，只有的极坐标满足方程.2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M（，），探求，的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.1.极坐标方程分别为cos 和sin 的两个圆的圆心距是（）A.3 B. C.1 D. 解析极坐标方程化直角坐标方程为x2y2x和x2y2y，它们的圆心分别是，圆心距是.答案D2.4sin25表示的曲线

10、是（）A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线解析4sin254522cos 5.，cos x，代入上式得22x5，两边平方整理得y25x，它表示的曲线为抛物线.3.已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_.解析由2sin得yx1.xy10.而点A对应直角坐标为A（2，2），则点A（2，2）到直线xy10的距离为.答案4.设P，直线l经过P点且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程.解如图，设M（，）为直线l上除P点外的任意一点，连接OM、OP，直线l交Ox于点A，则有|OM|，|OP|2，xAM，AOP，故OPM，MOP，所以有|OM|cosMOP|O

11、P|，即cos2，显然P点也在这条直线上.直线l的极坐标方程为cos2.一、基础达标1.圆心在（1，0）且过极点的圆的极坐标方程为（）A. 1 B.cos C.2cos D.2sin 解析圆的直角坐标方程是（x1）2y21，将xcos ，ysin 代入上式，整理得，2cos ，即为此圆的极坐标方程.答案C2.在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A.0（R）和cos 2 B. （R）和cos 2C. （R）和cos 1 D.0（R）和cos 1解析由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即（x1）2y21，其垂直于极轴的两条切线方程为x0和x2，

12、相应的极坐标方程为 （R）和cos 2.答案B3.极坐标方程sin 2sin 2表示的曲线为（）A.两条直线 B.一条射线和一个圆C.一条直线和一个圆 D.圆解析由sin 2sin 2，得sin 4sin cos ，即sin （4cos ）0，sin 0或4cos 0.极坐标方程sin 2sin 2表示的曲线为直线sin 0和圆4cos .4.在极坐标系中，设圆C：4cos 与直线l： （R）交于A，B两点，则以AB为直径的圆的极坐标方程为（）A.2sin B.sinC.2cos D.cos解析根据题意可得圆C的直角坐标方程为x2y24x，直线l的直角坐标方程为yx，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为（0，0），（2，2），所以在直角坐标系中，以AB为直径的圆的圆心为（1，1）、半径为，则方程为x2y22x2y，所以所求极坐标方程为2（cos sin