数学建模传染病模型Word下载.docx
《数学建模传染病模型Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模传染病模型Word下载.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
二、问题分析
1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。
2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。
3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。
但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。
因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：
感染人数是时间的连续可微函数。
三、模型假设
模型二和模型三的假设条件：
假设一：
在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。
人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。
时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s（t）和i（t）。
假设二：
每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。
当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。
假设三：
模型三在假设一和假设二的基础上进行考虑，然后设病人每天治愈的比例为，称为日治愈率。
病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然1/是这种传染病的平均传染期。
模型四的假设条件：
假设四：
总人数N不变。
人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称SIR模型。
三类人在总数N中占的比例分别记作s（t）,i（t）和r（t）。
假设五：
病人的日接触率为，日治愈率为（与SI模型相同），传染期接触为=/。
四、符号说明
t·
·
某一具体时刻
x（t）·
病人人数
每天每个病人有效接触的人数
N·
总人数
s（t）·
健康者总人数
i（t）·
病人总人数
i·
初始时刻病人的比例
t·
病人的最大值
日治愈率
1/·
平均传染率
接触率
r（t）·
移出者
s·
初始时刻健康者的比例
五、模型的建立与求解
模型1
在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x（t）是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数，考察t到病人人数的增加，就有
方程
（1）的解为
结果表明，随着t的增加，病人人数x（t）无限增长，这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于：
在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。
模型2（SI模型）
又因为
方程（5）是Logistic模型。
它的解为
这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。
其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。
模型3（SIS模型）
有些传染病如伤风、痢疾等愈合后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型成为SIS模型。
考虑到这一模型的假设条件，于是有
（8）
可得微分方程
0（9）
定义
（10）
其中是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。
得到
（11）
模型4（SIR模型）
大多数传染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R类。
SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移除者。
人员流动图为：
S-I-R。
1.模型构成：
在假设1中显然有：
s（t）+i（t）+r（t）=1（12）
对于病愈免疫的移出者的数量应为
（13）
不妨设初始时刻的易感染者、染病者、恢复者的比例分别为（＞0），（＞0），=0，则SIR基础模型用微分方程组表示如下：
（14）
s（t），i（t）的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s（t），i（t）的一般变化规律。
2.数值计算
在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i（0）=0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程：
functiony=ill（t,x）
a=1;
b=0.3;
y=[a*x
（1）*x
（2）-b*x
（1）;
-a*x
（1）*x
（2）];
ts=0:
50;
x0=[0.20,0.98];
[t,x]=ode45（'
ill'
ts,x0）;
plot（t,x（:
1）,t,x（:
2））
pause
plot（x（:
2）,x（:
1））
输出的简明计算结果列入表1。
i（t）,s（t）的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初值i（0）=0.02,s（0）=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,（s,i）沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i（t）由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,s（t）则单调减少,t→∞,s→0.0398.并分析i（t）,s（t）的一般变化规律.
表1i（t）,s（t）的数值计算结果
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
i（t）
0.0200
0.0390
0.0732
0.1285
0.2033
0.2795
0.3312
0.3444
0.3247
s（t）
0.9800
0.9525
0.9019
0.8169
0.6927
0.5438
0.3995
0.2839
0.2027
t
9
10
15
20
25
30
35
40
45
0.2863
0.2418
0.0787
0.0223
0.0061
0.0017
0.0005
0.0001
0.1493
0.1145
0.0543
0.0434
0.0408
0.0401
0.0399
0.0398
1
3.相轨线分析
我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。
D=｛（s，i）|s≥0，i≥0，s+i≤1｝（15）
在方程（14）中消去并注意到σ的定义，可得
（16）
所以：
利用积分特性容易求出方程（5）的解为：
（17）
在定义域D内,（17）式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s（t）和i（t）的变化趋向。
图3
下面根据（14），（17）式和图3分析s（t）,i（t）和r（t）的变化情况（t→∞时它们的极限值分别记作,和）.
1.不论初始条件s0,i0如何,病人将消失,即：
2.最终未被感染的健康者的比例是,在（7）式中令i=0得到,是方
在（0,1/σ）内的根.在图形上是相轨线与s轴在（0,1/σ）内交点的横坐标
3.若>
1/σ,则开始有，i（t）先增加,令=0，可得当s=1/σ时,i（t）达到最大值：
然后s<
1/σ时，有，所以i（t）减小且趋于零,s（t）则单调减小至,如图3中由P1（，）出发的轨线
4.若1/σ,则恒有，i（t）单调减小至零,s（t）单调减小至,如图3中由P2（s0,i0）出发的轨线
可以看出,如果仅当病人比例i（t）有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当>
1/σ（即σ>
1/s0）时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得≤1/σ（即σ≤1/）,传染病就不会蔓延（健康者比例的初始值是一定的,通常可认为接近1）。
并且,即使>
1/σ,σ减小时,增加（通过作图分析）,降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;
医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.
从另一方面看,是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被个健康者交换.所以当即时必有.既然交换数不超过1,病人比例i（t）绝不会增加,传染病不会蔓延。
5.群体免疫和预防：
根据对SIR模型的分析,当时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到。
忽略病人比例的初始值有,于是传染病不会蔓延的条件可以表为
这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（
升级会员 