数学建模传染病模型Word下载.docx

1、二、问题分析1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。三、模型假设模型二和模型三的假设条件：假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（I

2、nfective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s（t）和i（t）。假设二：每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。假设三：模型三在假设一和假设二的基础上进行考虑，然后设病人每天治愈的比例为，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然1/是这种传染病的平均传染期。模型四的假设条件：假设四：总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s（t）,i（t）和r（t）。假设五：病人

3、的日接触率为，日治愈率为（与SI模型相同），传染期接触为 =/。四、符号说明t 某一具体时刻x（t）病人人数每天每个病人有效接触的人数N总人数s（t）健康者总人数i（t）病人总人数i初始时刻病人的比例t病人的最大值日治愈率1/平均传染率接触率r（t）移出者s初始时刻健康者的比例五、模型的建立与求解模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x（t）是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数，考察t到病人人数的增加，就有方程（1）的解为 结果表明，随着t的增加，病人人数x（t）无限增长，这显然是不符合实际的。建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康

4、人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。模型2（SI模型） 又因为 方程（5）是Logistic模型。它的解为 这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。 其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。模型3（SIS模型） 有些传染病如伤风、痢疾等愈合后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型成为SIS模型。考虑到这一模型的假设条件，于是有 （8）可得微分方程 0 （9）定义 （10）其中

5、是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。得到 （11）模型4（SIR模型）大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R类。SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移除者。人员流动图为：S-I-R。1.模型构成：在假设1中显然有： s（t） + i（t） + r（t） = 1 （12）对于病愈免疫的移出者的数量应为 （13）不妨设初始时刻的易感染者、染病者、恢复者的比例分别为（0），（0），=0，则SIR基础模型用微分

6、方程组表示如下： （14）s（t） ， i（t）的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s（t） ， i（t）的一般变化规律。2.数值计算在方程（3）中设=1，=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程：function y=ill（t,x）a=1;b=0.3;y=a*x（1）*x（2）-b*x（1）;-a*x（1）*x（2）;ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45（ill,ts,x0）;plot（t,x（:,1）,t,x（:,2）pauseplot（x（:,2）,x（:,1） 输出的简明计算结果列入表1。i（t） , s（t）的图形以

7、下两个图形，is图形称为相轨线,初值i（0）=0.02,s（0）=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,（s,i）沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i（t）由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t,i0,s（t）则单调减少,t,s0.0398. 并分析i（t）,s（t）的一般变化规律.表1 i（t）,s（t）的数值计算结果t 0 1 2 3 4 5 6 7 8i（t）0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s（t）0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.2

8、8390.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 450.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.039813.相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。 D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1 （15）在方程（14）中消去并注意到的定义，可得 （16）所以：利用积分特性容易求出方程（5）的解为： （17）在定义域D内,（17）式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随

9、着时间t的增加s（t）和i（t）的变化趋向。图3下面根据（14），（17）式和图3分析s（t）,i（t）和r（t）的变化情况（t时它们的极限值分别记作, 和）.1.不论初始条件s0,i0如何,病人将消失,即：2.最终未被感染的健康者的比例是 ,在（7）式中令i=0得到, 是方在（0,1/）内的根.在图形上 是相轨线与s轴在（0,1/）内交点的横坐标3.若1/,则开始有，i（t）先增加, 令=0，可得当s=1/时,i（t）达到最大值：然后s1/（即1/s0）时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数,即提高阈值1/使得1/（即 1/）,传染病就不会蔓延（健康者比例的初始值是一定的,通常可认为接近1）。

10、并且,即使1/, 减小时, 增加（通过作图分析）, 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在=中,人们的卫生水平越高,日接触率越小;医疗水平越高,日治愈率越大,于是越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方面看, 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被个健康者交换.所以当 即时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i（t）绝不会增加,传染病不会蔓延。5. 群体免疫和预防：根据对SIR模型的分析,当 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/变大以外,另一个途径是降低 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到。忽略病人比例的初始值有,于是传染病不会蔓延的条件 可以表为这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（