第三章行波法Word文档下载推荐.docx
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,
则
利用达朗伯公式,可以得到关于的通解为:
∴
12.无限长弦在点x=x0受到初始冲击,冲量为I,试求解弦的振动。
[提示:
]。
习题2.2(P154)
1.一根无限长的弦与轴的正半轴重合,处于平衡状态中,左端位于原点,当时左端点最微小的振动,求弦的振动规律。
当显然有
当,将初始条件延拓到x<
0半无界区域,
其中和尚未确定。
将达朗伯公式应用于延拓后的无界弦。
且令其满足边界条件得到:
即
记at为,则
显然取时可以满足边界条件
于是
2.半无限长的杆,其端点受到纵向力作用,求解杆的纵振动。
泛定方程,
的初始条件:
边界条件
对的地方,端点的影响未传到,所以
。
对的地方,需要考虑端点的影响。
对a<
0,和未定义,现将它们延拓。
其中和待定,应用达朗伯公式;
它应满足边界条件
显然,取而即可满足条件。
3.平面偏振的平面光波沿x轴行进而垂直地投射于两种介质的分界面上,入射光波的电场强度,其中是第一种介质的折射率。
求反射光波和透射光波[提示:
在分界面上,E连续,。
入射光波传到分界面x=0处的时刻为t=0,得定解问题:
衔接条件
在x<
0的区域中,
(1)之解为
由条件
(2)可得
在区域x>
0,没有反射波,只有透射波。
因此(3)的解为
由条件(4),。
应用衔接条件(5)(6),得
将(8)对t积分,且由于。
由(7)(9)消去行
再得。
所以解为:
反射波
透射波
4.求解半无限长理想传输线上电报方程的解,端点通过电阻相接,初始电压分布为,初始电流分布,在什么条件下端点没有反射(这种情况叫作匹配)?
∵是理想传输线,∴。
因此,定解问题是
(x<
0)
电压和电流在点有。
(i)对于端点的影响尚未到达,由达朗伯公式;
同理
这就是从的区域沿x轴正方向朝着端点x=0行进的入射波。
(ii)对于,必须考虑到端点的反射,直接从通解出发有
(1)
(2)
其中和是待求的反射波,因传输是理想的,故
(1)和
(2)应满足和。
由于所以上列两式即
总之和两个函数不是独立的,这样
(1)和
(2)应代之以
(3)和(4)应满足边界条件即
由此解得
以此代入(3)和(4)得到解答
右边第二项是反射波,要想没有反射波,应令右边第二项的系数为零,即
端点没有反射波,意味着电波的能量全部被电阻吸收,
这叫做阻抗匹配,这时负载阻抗R等于传输线的特性阻抗。
5.在弦的x=0处悬挂着质量为M的载荷,有一行波,从x<
0的区域向悬挂点行进,试求反射波和透射波,
设波传到分界点x=0处的时刻为t=0,则依题意
衔接条件为
上式中是荷载Mg的位移,在x<0的区域中,方程
(1)的通解为
其中是待求的反射波。
由条件
(2)知
即
由的解知
在的区域,只有透射波,而没有反射波,故(3)的解为
其中是待求的反射波,由条件(4),可知
由可得
。
应用衔接条件(5),(6),可得
∴
将上式对t积分,并利用得
而反射波。
故本题之解透射波为:
当时,
当,时,
习题2.3(P162)
1.证明球面问题
的解为:
将该问题利用球坐标转换为一维问题。
在球对称的情况下原方程可变为:
令,则原方程变为:
得通解为:
即,原方程的通解为
将初始条件代入有
求解并整理
2.以半径为的球内含有气体,在初始时刻时是静止的,在球内的初始压缩率为,在
球外为零。
无论何时,压缩率与速度势的关系为,并且速度势满足方程
试对所有的,确定压缩率。
该问题的定解问题为:
上题的结果有:
讨论:
(1)若点在球外,则,所以,即,此时有
(2)若点在球内,则,
(ⅰ)当时,更有,得
(ⅱ)当当时,而当时,,
()当,更有,所以,,此时有:
3.利用泊松公式求解下列定解问题
根据三维泊松公式有:
因为:
所以:
4.在泊松公式中,若将球面上的积分代一平面上的圆的积分,并注意球面上下两半都投影于同一圆,便可导出二维空间的泊松公式。
试推导二维空间的泊松公式:
将三维泊松公式中球面上的积分代一平面上的圆的积分,而积分面积元则应以在上的投影代替,即
又球面上下两半部都投影于同一圆,所以,
将其代入三维波送公式有:
+
即:
5.利用二维泊松公式求解下面的定解问题
根据二维泊松公式有:
思考:
能否用简单的方法求解第2题和第5题
第2题:
由于该方程为线性方程,故可以利用叠加原理来求解。
于是该题可以变为下面三个一维波动方程的解的叠加。
(1)
(2)(3)
故原方程的解为:
第5题:
由初始条件可知,将二维波动方程分解为一维波动方程的叠加
(1)
6.应用泊松公式计算下述定解问题的解.⊿,初始速度为零.初始位移在某个单位球内为1,在球外为零。
取单位球的球心为坐标原点,则定解问题为:
由泊松公式
(i)当点(以为矢径的点简称为点,下同)在单位球内时:
a.若,球面完全在单位球内,从而
b.若,单位球将在球面内,这时,从而.
c.若,则与单位球相交,设它在球内的部分为,因在球外而在上,.
∴.
∵
,
.
(ii)当点在单位球外时
a.若,与单位球分离,在上,∴.
b.若将单位球包含于内,在上,∴.
c.若与单位球相交,设它在球内的部分为,与(i)之c相同的计算,得
综上述,在球内
在球外
7.应用泊松公式计算下述定解问题的解.⊿,初始速度为零,初始位移在球以内为,在球外为零。
该定解问题的数学模型为:
由泊松公式,
(i)当点在球内时,
a.若在球内,.
为计算上式右端积分,如右图所示,以为原点,的方向为Z轴方向建立球坐标系,设上的点在球坐标系内的坐标为.
则∠,
注意到,
有
∵
又
从而
b.若,球将在内部,这时,从而.
c.若,则与球相交.
与情形i)一样建立坐标系,一样讨论,只不过应在在球内的部分积分(∵在球外),即为右图所示,应从积到π,而所对应之点,从而
(ii)当点在球外时
a.若与球分离,,
b.若将球包含于内,仍有,
c.若球面与球相交。
完全类似于(i)之c的讨论得到
综上所述,本问题的解为
在球内
8.二维波动,初始速度为零,初始位移在圆以内为1,在圆外为零,试求.
应用二维泊松公式
(i)当,
.
(ii)当,
7.求解三维无界空间的输送问题:
⊿,.
将u展开为三重傅里叶积分,
代入泛定方程,得
得关于T的方程为,即。
,代入初始条件.
即是的三重傅里叶变换式:
把工入的式子得:
其中
∴.
8.求解三维无界空间中的波动问题
⊿3,
从初始状况反推以前(t<
0)的状况.
⊿,,
代入泛定方程,分离出关于T的方程.
,代入初始条件得到
解之得
对,舍去,所以
积分只需在球面上进行,这个球面使,为球面上点的矢端,球心在以为矢径的点(即要求解的点,半径为)或写作,这个球面记为,因而所求的解
习题2.4(P168)
1.求解下面的问题
(1)
因为,所以原方程的解为;
(3)
(4)
2.设是初值问题
的解,证明
是非齐次方程零值初值问题
证明:
根据求导公式
由初始条件有
故有
,
根据初始条件有
所以
所以满足二维非齐次方程。
所以是二维非齐次方程定解问题的解。
3.试推导二维非齐次波动方程初值问题
的解的表达式为
根据线性方程的叠加原理,该方程可分解下面两个方程的叠加
(1)
(2)
而
(1)的解为
根据2题解先可化为下面方程的解
令,则上面的方程又变为
有方程
(1)的结果得
所以方程
(2)的解变为
所以原方程的解为